Question

如图，抛物线y=-x²+bx+c交x轴于点A、B，交y轴于点C，其中点B坐标为（1，0），同时抛物线还经过点（-2，3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在直线y=kx+n（k≠0）与抛物线交于点M、N，使y轴平分△CMN的面积？若存在，求出k、n应满足的条件；若不存在，请说明理由；
（3）已知P为抛物线上一动点，当抛物线上有且只有3个点使得△ACP的面积为某一定值时，求点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把点B（1，0），点（-2，3）代入抛物线y=-x²+bx+c求出b、c的值，进而可得出结论；
（2）假设存在满足条件的直线y=kx+b（k≠0），联立直线与抛物线的解析式得出关于x的一元二次方程，根据要使y轴平分△CMN的面积，则M、N两点的横坐标互为相反数，根据根与系数的关系即可得出k、n应满足的条件；
（3）先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+3，设与AC平行且与抛物线y=-x²-2x+3只有一个交点的直线记为l，则此唯一交点为P．利用待定系数法求得直线l的解析式为y=x+

21

4

，与y=-x²-2x+3联立，求出方程组的解，得到点P₁的坐标；由于y=x+

21

4

向下平移

9

4

个单位得到y=x+3，所以将y=x+3向下平移

9

4

个单位得到y=x+

3

4

，与y=-x²-2x+3联立，求出方程组的解，得到点P₂与P₃的坐标．

解答：解：（1）将点B（1，0），点（-2，3）代入抛物线y=-x²+bx+c中，得

-1+b+c=0 -4-2b+c=3

，
解得

b=-2 c=3

，
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；

（2）假设存在满足条件的直线y=kx+n（k≠0）与抛物线交于点M、N，使y轴平分△CMN的面积．
由题意得，

y=kx+n① y=-x2-2x+3②

，
①-②得，x²+（k+2）x+n-3=0，③
要使y轴平分△CMN的面积，则M、N两点的横坐标互为相反数，
∴方程③满足

x1+x2=0 △=(k+2)2-4(n-3)＞0

，
解得k=-2，n＜3，
即存在满足条件的直线y=kx+n（k≠0），此时k=-2，n＜3；

（3）∵y=-x²-2x+3，
∴当y=0时，-x²-2x+3=0，
解得x=1或-3，
∵点B坐标为（1，0），
∴点A坐标为（-3，0）．
∵当x=0时，y=3，
∴点C坐标为（0，3）．
设直线AC的解析式为y=mx+t，
则

-3m+t=0 t=3

，
解得

m=1 t=3

，
∴直线AC的解析式为y=x+3．
设与AC平行且与抛物线y=-x²-2x+3只有一个交点的直线l为y=x+p，
将y=x+p代入y=-x²-2x+3，整理得x²+3x+p-3=0，
∵△=3²-4（p-3）=0，
∴p=

21

4

，
∴直线l的解析式为y=x+

21

4

．
由

y=x+ 21 4 y=-x2-2x+3

，
解得

x=- 3 2 y= 15 4

，
∴点P₁的坐标为（-

3

2

，

15

4

）；
∵y=x+

21

4

向下平移

9

4

个单位得到y=x+3，
∴将y=x+3向下平移

9

4

个单位得到y=x+

3

4

，
由

y=x+ 3 4 y=-x2-2x+3

，解得

x1= -3+3 2 2 y1= -3+6 2 4

，

x2= -3-3 2 2 y2= 3 2 2

，
∴点P₂的坐标为（

-3+3 2

2

，

-3+6 2

4

），点P₃的坐标为（

-3-3 2

2

，

3 2

2

）；
综上所述，所求点P的坐标为P₁（-

3

2

，

15

4

），P₂（

-3+3 2

2

，

-3+6 2

4

），P₃（

-3-3 2

2

，

3 2

2

）．

点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，三角形的面积，直线平移的规律，两函数交点坐标的求法等知识，难度适中．利用数形结合、方程思想是解题的关键．