Question

（本小题10分）已知抛物线．

（1）求它的对称轴与轴交点的坐标；

（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与轴的交点为，，与轴的交点为，若=90°，求此时抛物线的解析式；

（3）若点（，）在抛物线上，则称点为抛物线的不动点．将抛物线进行平移，使其只有一个不动点，此时抛物线的顶点是否在直线上，请说明理由．

Answer 1

（1）D（3,0）；（2）；（3）在.

【解析】

试题分析：（1）根据对称轴的求法求出对称轴，得出点D的坐标；（2）首先设出平移后的解析式，求出点A、点B的坐标，根据直角△ABC的勾股定理列出方程求出k的值；（3）设出平移后的解析式，根据不动点的定义列出方程，根据只有一个交点说明根的判别式为零求出h和k的关系式.

试题解析：（1）由y=－，得x=－=3 ∴点D的坐标为（3,0）

（2）设平移后的抛物线解析式为y=－+k（k＞0） 则C（0，k） OC=k

令y=0，即－+k=0 解得：

∴，．

∴．

．

∵=90°， ∴．

即．．

解得，（舍去）．

∴抛物线的解析式为．

（3）设平移后的抛物线的解析式为，由不动点的定义，得方程，

整理，得． ∵平移后的抛物线只有一个不动点，

∴此方程有两个相等的实数根． ∴判别式，

有，． ∴顶点（，）在直线上．

考点：二次函数图象的平移、勾股定理、根的判别式

考点分析： 考点1：二次函数 定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。 二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）
（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x₁和x₂存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。

二次函数的一般形式的结构特征：
①函数的关系式是整式；
②自变量的最高次数是2；
③二次项系数不等于零。 二次函数的判定：
二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；
当b=0，c=0时，y=ax²是特殊的二次函数；
判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。 试题属性

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