Question

12．如图，⊙P的半径为10，A、B是圆上任意两点，且AB=12，以AB为边作正方形ABCD（点D、P在直线AB两侧），若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为36π．

Answer 1

分析 连接PA、PD，过点P作PE垂直AB于点E，延长PE交CD于点F，根据垂径定理可得出AE=BE=$\frac{1}{2}$AB，利用勾股定理即可求出PE的长度，再根据平行线的性质结合正方形的性质即可得出EF=BC=AB，DF=AE，根据圆环的面积公式即可得出结论．

解答 解：连接PA、PD，过点P作PE垂直AB于点E，延长PE交CD于点F，如图所示．

∵AB是⊙P上一弦，且PE⊥AB，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=6，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE=∠ADF=∠DFE=90°，
∴四边形AEFD是矩形，
∴DF=AE=6，
∵若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的图形为以PF为内圆半径、以PD为外圆半径的圆环．
∴S=π•PD²-πPF²=π（PD²-PF²）=πDF²=36π，
故答案为：36π．

点评 本题考查了垂径定理、勾股定理、平行线的性质以及圆环的面积公式，解题的关键是分析出CD边扫过的区域的形状．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，结合AB边的旋转，找出CD边旋转过程中扫过区域的形状是关键．