Question

如图，直线y=x-1与双曲线y=

k

x

（x＞0）交于点A（2，m）．
（1）求m、k的值．
（2）利用图象写出当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值．
（3）连接OA，在x轴的正半轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）因为点A（2，m）在直线y=x-1上，把A点坐标代入解析式就可以求出m的值；再把A代入双曲线y=

k

x

（x＞0）中即可求出k的值．
（2）根据一次函数和反比例函数的图象特征即增减性可以确定一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围．
（3）要求点P需要用到等腰三角形的性质和等腰三角形成立的条件来判断点P的位置．

解答：解：（1）∵点A（2，m）在直线y=x-1上，
∴m=2-1=1．
∴点A的坐标是（2，1）．
∵点A（2，1）在双曲线y=

k

x

上，
∴1=

k

2

，
∴k=2；

（2）由图象得：当x＞2时，一次函数的值大于反比例函数的值；

（2）存在．
过点A作AD⊥x轴，交x轴于D，
∵OA=

22+1

=

5

，
∴sin∠AOP=

OD

OA

=

5

2

，
①当OP=AP时，
过点P作PC⊥OA，
∴OC=

5

2

，
∴sin∠AOP=

OP

OC

=

5

2

，
∴CP=

5

4

，
∴P₁（

5

4

，0）；
②当OP=OA时，P₂（

5

，0）；
③当OP=OA时，
∴OD=PD=2，
∴P₃（4，0）．
∴使△AOP是等腰三角形的点为：P₁（

5

4

，0），P₂（

5

，0），P₃（4，0）．

点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及函数图象上的点与解析式的关系，图象上的点一定满足函数解析式．