Question

（2012•宜昌一模）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，以A为圆心，AD为半径的圆与BC相切于点M，与AB交于点E，若AD=2，BC=6，求

DE

的长．

Answer 1

分析：首先连接AM，过点D作DF⊥BC于点F，易得四边形AMFD为矩形，Rt△AMB≌Rt△DFC，则可求得BM=FC=2，AM=AD=2，即可得△ABM是等腰直角三角形，求得∠BAM的度数，继而可求得∠BAD的度数，然后由弧长公式求得答案．

解答：解：连接AM，过点D作DF⊥BC于点F，
∵⊙A与BC切于点M，
∴AM⊥BC，
∵AD∥BC，
∴AM⊥AD．
∴四边形AMFD为矩形．
∴MF=AD=2，AM=DF，
在Rt△AMB和Rt△DFC中，

AB=DC AM=DF

，
∴Rt△AMB≌Rt△DFC（HL），
∴BM=FC=

BC-MF

2

=2，
又∵⊙A中，AM=AD=2，
∴BM=AM=2，
∴∠BAM=45°，
∴∠BAD=45°+90°=135°，
∴

DE

的长=

135π×2

180

=1.5π．

点评：此题考查了切线的性质、等腰梯形的性质、矩形的判定与性质、直角三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及弧长公式．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．