Question

正方形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中，A在x轴正半轴上，D在y轴的负半轴上，AB交y轴正半轴于E，BC交x轴负半轴于F，OE=1，OD=4，抛物线y=ax²+bx-4过A、D、F三点。
（1）求抛物线的解析式；
（2）Q是抛物线上D、F间的一点，过Q点作平行于x轴的直线交边AD于M，交BC所在直线于N，若S_{四边形AFQM}=S_△FQN，则判断四边形AFQM的形状；
（3）在射线DB上是否存在动点P，在射线CB上是否存在动点H，使得AP⊥PH且AP=PH，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）依条件有， 由知， ∴由得， ∴， 将A、F的坐标代入抛物线方程， 得， ∴抛物线的解析式为； （2）设， ∴ 设，则 ∴， ∴（舍去） 此时点M与点D重合， 则为等腰梯形； （3）在射线上DB存在一点P，在射线CB上存在一点H， 使得，且成立，证明如下： 当点P如图①所示位置时，不妨设，过点P作， 垂足分别为， 若，由得：， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ 当点P在如图②所示位置时，过点P作， 垂足分别为M、N， 同理可证， 又， ， ∴ 当在P如图③所示位置时，过点P作，垂足为N，延长线，垂足为M， 同理可证， ∴。