Question

18．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的面积为定值，它的对称中心恰与原点重合，且AB∥y轴，CD交x轴于点M，过原点的直线EF分别交AD、BC边于点E、F，以EF为一边作矩形EFGH，并使EF的对边GH所在直线过点M，若点A的横坐标逐渐增大，图中矩形EFGH的面积的大小变化情况是（　　）

• A． 一直减小
• B． 一直不变
• C． 先减小后增大
• D． 先增大后减小

Answer 1

分析 设GH交AD于K，AD与轴交于点P．由△OPE∽△EHK，推出$\frac{OP}{HE}$=$\frac{OE}{EK}$，推出OP•EK=HE•OE，易证四边形OMKE是平行四边形，推出EK=OM，推出OP•OM=HE•OE，由矩形ABCD的面积为定值，推出OP•OM是定值，推出HE•OE是定值，由矩形EFGH的面积=2HE•EO，推出矩形EFGH的面积是定值．

解答 解：如图，设GH交AD于K，AD与轴交于点P．

∵∠OEP+∠HEK=90°，∠HEK+∠HKE=90°，
∴∠HKE=∠OEP，
∵∠OPE=∠H=90°，
∴△OPE∽△EHK，
∴$\frac{OP}{HE}$=$\frac{OE}{EK}$，
∴OP•EK=HE•OE，
易证四边形OMKE是平行四边形，
∴EK=OM，
∴OP•OM=HE•OE，
∵矩形ABCD的面积为定值，
∴OP•OM是定值，
∴HE•OE是定值，
∵矩形EFGH的面积=2HE•EO，
∴矩形EFGH的面积是定值．
故选B．

点评 本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．