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    我们知道：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．类似地，我们定义：顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫做圆外角．
    （1）判断：图中有没有圆外角如果有，请用字母表示出来．
    （2）运用所学的数学知识，探究：圆外角的度数与它所夹的弧所对的圆心角的度数有什么关系将你的发现，用文字表述出来，并说明理由．

    解：（1）∠DPB是圆外角；
    （2）圆外角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的差的绝对值的一半．
    连接DA，OA，OB，OC，OD
    ∵∠BAD=∠BOD，∠ADC=∠AOC
    ∴∠BAD-∠ADC=∠BOD-∠AOC
    ∵∠DPB=∠BAD-∠ADC（外角定理）；
    ∴∠DPB=∠BOD-∠AOC．
    分析：（1）由于∠DPB的两边与圆相交，所以∠DPB是圆外角．
    （2）连接DA，OA，OB，OC，OD，根据圆周角定理进行分析即可．
    点评：本题是对圆周角定理的拓展，利用了圆周角定理来求解．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    我们知道：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的精英家教网圆心角度数的一半．类似地，我们定义：顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫做圆外角．
    （1）判断：图中有没有圆外角如果有，请用字母表示出来．
    （2）运用所学的数学知识，探究：圆外角的度数与它所夹的弧所对的圆心角的度数有什么关系将你的发现，用文字表述出来，并说明理由．（2007年唐洋镇中学初三模拟考试数学试卷改编）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•南京二模）情境一
    我们知道：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
    我们还知道：①圆心角的度数等于与它所对的弧的度数，②同弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半．由此，小明得到一个正确的结论：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．如图1，∠LMN=
    1
    2
    LN
    ．
    问题1  填空：如图1，如果
    LN
    的度数是80，那么∠LMN的度数是
    40
    40
    ．
    情境二
    小明把顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫圆外角，并继续探索．
    如图2，∵∠PTQ是△OPT的一个外角，
    ∴∠PTQ=∠O+∠P．
    ∴∠O=∠PTQ-∠P．
    ∵圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半（已在情境一中证明），
    ∴∠PTQ=
    1
    2
    PQ
    ，∠P=
    1
    2
    RT
    ．
    ∴∠O=∠PTQ-∠P=
    1
    2
    PQ
    -
    1
    2
    RT
    =
    1
    2
    （
    PQ
    -
    RT
    ）．
    经历了上述探索、证明过程，小明发现了“圆外角的度数等于它所夹的较大弧的度数减去较小弧的度数所得差的一半”这个正确结论．
    问题2  填空：如图2，如果
    PQ
    =80°，
    RT
    =20°，那么∠O=
    30
    30
    °．
    问题3  类比情境二的内容，请你就角的顶点在圆内的情况进行探索．写出你的发现，并证明你的结论．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    情境一

    我们知道：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．我们还知道：①圆心角的度数等于与它所对的弧的度数，②同弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半．由此，小明得到一个正确的结论：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．如图1，∠LMN＝．

    问题1  填空：如图1，如果的度数是80，那么∠LMN的度数是______．

    图

    1

    情境二

    小明把顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫圆外角，并继续探索．

    如图2，∵∠PTQ是△OPT的一个外角，

    ∴∠PTQ＝∠O＋∠P．

    ∴∠O＝∠PTQ －∠P．

    ∵圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半(已在情境一中

    证明)，

    ∴∠PTQ＝，∠P＝．

    ∴∠O＝∠PTQ －∠P＝－＝(－)． 

    经历了上述探索、证明过程，小明发现了“圆外角的度数等于它所夹的较大弧的度数减去较小弧的度数所得差的一半”这个正确结论．

    问题2  填空：如图2，如果＝80°，＝20°，那么∠O＝______°．

    问题3  类比情境二的内容，请你就角的顶点在圆内的情况进行探索．写出你的发现，并证明你的结论．

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    科目：初中数学 来源：2012年江苏省南京市联合体中考数学二模试卷（解析版） 题型：解答题

    情境一
    我们知道：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
    我们还知道：①圆心角的度数等于与它所对的弧的度数，②同弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半．由此，小明得到一个正确的结论：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．如图1，∠LMN=．
    问题1  填空：如图1，如果的度数是80，那么∠LMN的度数是______．
    情境二
    小明把顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫圆外角，并继续探索．
    如图2，∵∠PTQ是△OPT的一个外角，
    ∴∠PTQ=∠O+∠P．
    ∴∠O=∠PTQ-∠P．
    ∵圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半（已在情境一中证明），
    ∴∠PTQ=，∠P=．
    ∴∠O=∠PTQ-∠P=-=（）．
    经历了上述探索、证明过程，小明发现了“圆外角的度数等于它所夹的较大弧的度数减去较小弧的度数所得差的一半”这个正确结论．
    问题2  填空：如图2，如果=80°，=20°，那么∠O=______°．
    问题3  类比情境二的内容，请你就角的顶点在圆内的情况进行探索．写出你的发现，并证明你的结论．

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