Question

如图，已知在△ABC中，∠BAC=90°，BC的垂线交BC于D，交AC于E，交BA的延长线于F．求证：BD•DC=DE•DF．

Answer 1

证明：∵DE⊥BC，
∴∠BDF=∠EDC=90°，
∴∠B+∠F=90°，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠C+∠B=90°，
∴∠C=∠F，
∴△BDF∽△EDC，
∴BD：DE=DF：DC，
∴BD•DC=DE•DF．
分析：由DE⊥BC，可得∠BDF=∠EDC=90°，又由在△ABC中，∠BAC=90°，根据同角的余角相等，即可证得∠C=∠F，然后由有两对角对应相等的三角形相似，证得△BDF∽△EDC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得BD•DC=DE•DF．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．