如图1.已知直线EA与x轴.y轴分别交于点E和点A(0.2).过直线EA上的两点F.G分别作轴的垂线段.垂足分别为M.其中m＜0.n＞0.(1)如果m=-4.n=1.试判断△AMN的形状,中有关△AMN的形状的结论还成立吗?如果成立.请证明,如果不成立.请说明理由,(3)如图2.题目中的条件不变.如果mn=-4.并且ON=4.求经过M.A.N三点的抛物线所对应� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图1，已知直线EA与x轴、y轴分别交于点E和点A（0，2），过直线EA上的两点F、G分别作轴的垂线段，垂足分别为M（m，0）和N（n，0），其中m＜0，n＞0。
（1）如果m=-4，n=1，试判断△AMN的形状；
（2）如果mn=-4，（1）中有关△AMN的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图2，题目中的条件不变，如果mn=-4，并且ON=4，求经过M、A、N三点的抛物线所对应的函数关系式；
（4）在（3）的条件下，如果抛物线的对称轴与线段AN交于点P，点Q是对称轴上一动点，以点P、Q、N为顶点的三角形和以点M、A、N为顶点的三角形相似，求符合条件的点Q的坐标。

图1 图2

解：（1）△AMN是直角三角形，依题意得OA=2，OM=4，ON=1， ∴MN=OM+ON=4+1=5，在Rt△AOM中，AM=== 在Rt△AON中，AN=== ∴MN²=AM²+AN²， ∴△AMN是直角三角形；（解法不惟一）
（2）答：（1）中的结论还成立，依题意得OA=2，OM=-m，ON=n， ∴MN=OM+ON=n-m， ∴MN²=（n-m）²=n²-2mn+m²， ∵mn=-4， ∴MN²=n²-2×（-4）+m²=n²+m²+8，又∵在Rt△AOM中，AM=== 在Rt△AON中，AN=== ∴AM²+AN²=4+m²+4+n²=n²+m²+8， ∴MN²=AM²+AN²， ∴△AMN是直角三角形；（解法不惟一）
（3） ∵mn=-4，n=4， ∴m=-1，设抛物线的函数关系式为y=ax²+bx+c， ∵抛物线经过点M（-1，0）、 N（4，0）和A（0，2）， ∴ ∴ ∴所求抛物线的函数关系式为y=-x²+x+2；
（4）抛物线的对称轴与x轴的交点Q₁符合条件， ∵l⊥MN，∠ANM=∠PN Q1， ∴Rt△PNQ₁∽Rt△ANM， ∵抛物线的对称轴为x=， ∴Q₁（，0）， ∴NQ₁=4-=，过点N作NQ₂⊥AN，交抛物线的对称轴于点Q₂， ∴Rt△PQ₂N、Rt△NQ₂Q₁、Rt△PNQ₁和Rt△ANM两两相似， ∴，即Q₁Q₂-， ∵点Q₂位于第四象限， ∴Q₂（，-5），因此，符合条件的点有两个，分别是Q₁（，0），Q₂（，-5）。

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（4）在（3）的条件下，如果抛物线的对称轴l与线段AN交于点P，点Q是对称轴上一动点，以点P、Q、N为顶点的三角形和以点M、A、N为顶点的三角形相似，求符合条件的点Q的坐标．

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（2）答：（1）中的结论还成立，依题意得OA=2，OM=-m，ON=n， ∴MN=OM+ON=n-m， ∴MN²=（n-m）²=n²-2mn+m²， ∵mn=-4， ∴MN²=n²-2×（-4）+m²=n²+m²+8，又∵在Rt△AOM中，AM=== 在Rt△AON中，AN=== ∴AM²+AN²=4+m²+4+n²=n²+m²+8， ∴MN²=AM²+AN²， ∴△AMN是直角三角形；（解法不惟一）
（3） ∵mn=-4，n=4， ∴m=-1，设抛物线的函数关系式为y=ax²+bx+c， ∵抛物线经过点M（-1，0）、 N（4，0）和A（0，2）， ∴ ∴ ∴所求抛物线的函数关系式为y=-x²+x+2；
（4）抛物线的对称轴与x轴的交点Q₁符合条件， ∵l⊥MN，∠ANM=∠PN Q1， ∴Rt△PNQ₁∽Rt△ANM， ∵抛物线的对称轴为x=， ∴Q₁（，0）， ∴NQ₁=4-=，过点N作NQ₂⊥AN，交抛物线的对称轴于点Q₂， ∴Rt△PQ₂N、Rt△NQ₂Q₁、Rt△PNQ₁和Rt△ANM两两相似， ∴，即Q₁Q₂-， ∵点Q₂位于第四象限， ∴Q₂（，-5），因此，符合条件的点有两个，分别是Q₁（，0），Q₂（，-5）。

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