Question

如图，已知AC，BD是半径为R的圆的两条平行切线，A，B为切点，CD切⊙O于点E，交AC于点C，交BD于点D，求证：AC•BD为定值．

Answer 1

考点：切线的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：连接OC、OD，如图，根据切线的性质得到OA⊥AC，OB⊥BD，而AC∥BD，则可判断点O、A、B共线，再利用切线的性质和切线长定理由CD切⊙O于点E得到
∴OE⊥CD，CE=CA，DE=DB，于是可根据角平分线的逆定理得CO平分∠AOE，DO平分∠BOE，则∠1=∠2，∠3=∠4，易得∠1+∠3=90°，即∠DOC=90°，
然后证明Rt△OCE∽Rt△DOE，利用相似比得CE•DE=OE²，所以AC•BD=OE²．

解答：证明：连接OC、OD，如图，
∵AC，BD是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴OA⊥AC，OB⊥BD，
∵AC∥BD，
∴OA⊥BD，
∴点O、A、B共线，即AB为⊙O的直径，
∵CD切⊙O于点E，
∴OE⊥CD，CE=CA，DE=DB，
∴CO平分∠AOE，DO平分∠BOE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
而∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠1+∠3=90°，即∠DOC=90°，
∵∠3+∠ODE=90°，
∴∠1=∠ODE，
∴Rt△OCE∽Rt△DOE，
∴CE：OE=OE：DE，
∴CE•DE=OE²，
∴AC•BD=OE²，
而OE为⊙O的半径，
∴AC•BD为定值．

点评：本题考查了圆的切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理、角平分线定理的逆定理和相似三角形的判定与性质．