Question

如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，P为AB延长线上的点，且∠ADC=45°，PD=PE．
（1）求证：PD为⊙O切线；
（2）若AE=12，CE=，求△PDE的面积．

Answer 1

（1）证明：连接OC、OD，
∵∠ADC=45°，
∴弧AC的度数是90°，
∵AB为直径，
∴弧BC的度数也是90°，
∴弧AC=弧BC，
∵OC为半径，
∴OC⊥AB，
∴∠COE=90°，
∴∠C+∠OEC=90°，
∵OC=OD，PD=PE，
∴∠C=∠ODC，∠PDE=∠PED，
∴∠PDE+∠ODC=90°，
∴OD⊥PD，
∵OD为半径，
∴PD为⊙O切线；

（2）解：设⊙O的半径是R，
∵AE=12，CE=，
∴OC=R，OE=12-R，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：R²+（12-R）²=（3）²，
解得：R=3，R=9，
∴当R=3时，OE=12-3-9＞3，舍去，
即R=9，
OE=3，
设PD=PE=x，
∵在Rt△ODP中，∠ODP=90°，
∴由勾股定理得：9²+x²=（3+x）²，
解得：x=12，
即PD=PE=12，
过D作DF⊥PO于F，
在Rt△ODP中，由三角形的面积公式得：OD×PD=PO×DF，
∴9×12=（12+3）×DF
解得：DF=，
∴△PDE的面积是：×PE×DF=×12×=．
分析：（1）连接OC、OD，推出OC⊥AB，推出∠C+∠OEC=90°，根据等腰三角形性质得出∠C=∠ODC，∠PDE=∠PED，代入求出∠PDE+∠ODC=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）在Rt△OCE中根据勾股定理求出半径，在Rt△ODP中根据勾股定理求出PD和PE，根据三角形面积公式求出高DF，根据三角形面积公式求出即可．
点评：本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，勾股定理，三角形的面积，垂径定理等知识点的综合运用．