Question

如图Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,垂线段最短,勾股定理,平行四边形的性质

专题：压轴题

分析：以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线P′O，然后根据△P′OC和△ABC相似，利用相似三角形的性质即可求出PQ的最小值．

解答：解：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC=

AC2+AB2

=5，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO=QO，CO=AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
∵∠ACB=∠P′CO，∠CP′O=∠CAB=90°，
∴△CAB∽△CP′O，
∴

CO

BC

=

OP′

AB

，
∴

2

5

=

OP′

3

，
∴OP′=

6

5

，
∴则PQ的最小值为2OP′=

12

5

，
故答案为：

12

5

．

点评：本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是做高线各种相似三角形．