Question

已知a，b，c为正整数，且

3 a+b

3 b+c

为有理数，证明

a2+b2+c2

a+b+c

为整数．

Answer 1

分析：先根据

3

是无理数判断出

3

b-c≠0，再把

3 a+b

3 b+c

分母有理化，根据a，b，c为正整数可知b²-ac=0，再把a²+b²+c²化为几个因式积的形式，消去所求代数式的分母，从而所求问题得以证明．

解答：证明：因为

3

是无理数，则

3

b-c≠0，
而

3 a+b

3 b+c

=

( 3 a+b)( 3 b-c)

3b2-c2

=

3ab-bc+ 3 (b2-ac)

3b2-c2

为有理数，
所以b²-ac=0，
于是a²+b²+c²=（a+b+c）²-2（ab+bc+ac）=（a+b+c）²-2（ab+bc+b²）=（a+b+c）²-2b（a+c+b）=（a+b+c）（a-b+c），
因此，

a2+b2+c2

a+b+c

=a-b+c为整数．

点评：本题考查的是数的整除性问题，解答此题的关键是把

3 a+b

3 b+c

分母有理化，此题有一定的难度．