Question

11．已知：如图，?ABCD中，CD=CB=2，∠C=60°，点E是CD边上自D向C的动点（点E运动到点C停止运动），连结AE，以AE为一边作等边△AEP，连结DP．
（1）求证：△ABE≌△ADP；
（2）点P随点E的运动而运动，请直接写出点P的运动路径长2．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形、菱形、等边三角形的性质得到AP=AE，∠PAE=60°，∠PAE=∠DAB，∠1=∠2，从而得到全等三角形；
（2）根据点E的运动路径长是2，得到点P的运动路径长是2．

解答 （1）证明：在?ABCD中，
∵BC=CD，
∴?ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵△AEP是等边三角形，
∴AP=AE，∠PAE=60°，
∵∠BAD=∠C=60°，
∴∠PAE=∠DAB，
∴∠PAE-∠DAE=∠DAB-∠DAE，
即∠1=∠2，
在△ABE与△ADP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AE}\\{∠1=∠2}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADP（SAS）；

（2）解：∵点E在CD边上自D向C的运动，
∴点E的运动路径长是2，
∴点P的运动路径长为：2．
故答案为：2．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，熟记定理是解题的关键．