Question

如图，⊙M与y轴的正半轴相切于点C，与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，且x₂＞x₁＞0，抛物线y=

1

2

（x²-5x+2m）经过A、B、C三点．
（1）求m的值；
（2）求sin∠AMB的值；
（3）在图中的曲线上是否存在点P，使以P、A、C为顶点的三角形与△COA相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）过点M作x轴的垂线，垂足为点D，在直角三角形AMD中用勾股定理计算求出m的值．
（2）利用（1）中求出的m的值，得到点A，B，M的坐标，求出线段AB，MD，AM的长，然后在△ABM中，用面积法求出sin∠AMB的值．
（3）分别过A，C两点作AC的垂线，与抛物线交于点P₁和点P₂，因为△AOC中，OA=1，OC=2，所以当△PAC中，满足两直角边的比是1：2时，点P就存在，否则，就不存在．

解答：解：（1）如图：过点M作MD⊥AB于点D，
当x=0时，y=m，∴C（0，m）
当y=0时，有

1

2

x²-

5

2

x+m=0
∴x₁+x₂=5，x₁x₂=2m，
AD=

1

2

AB=

1

2

（x₂-x₁）=

1

2

(x2+x1)2-4x1x2

=

1

2

25-8m

．
∵⊙M与y轴相切于点C，
∵AB=0B-OA=x₂-x₁，
∴OD=AD+OA=

1

2

AB+OA=

x 2-x 1

2

+x₁=

1

2

（x₁+x₂），
∴CM=AM=OD=

1

2

（x₁+x₂）=

5

2

．
DM=OC=m，
在直角三角形AMD中，
AM²=AD²+MD²，
即：

25

4

=

25-8m

4

+m²，
解得：m₁=0，m₂=2．
∵m＞0，
∴m=2．

（2）∵m=2，
∴y=

1

2

x²-

5

2

x+2
∴C（0，2）
当y=0时，

1

2

x²-

5

2

x+2=0
解得：x₁=1，x₂=4，
∴A（1，0），B（4，0），
∴AB=3，AD=

3

2

，AM=

5

2

，MD=2
∵S_△ABM=

1

2

AB•MD=

1

2

AM•BM•sin∠AMB，
∴

1

2

×3×2=

1

2

×

5

2

×

5

2

×sin∠AMB，
∴sin∠AMB=

24

25

．

（3）如图：
分别过点A，C作AC的垂线交抛物线于P₁和P₂，
∵A（1，0），C（0，2），AC=

5

∴AC：y=-2x+2
AP₁：y=

1

2

x-

1

2

，
AP₂：y=

1

2

x+2，
由

y= 1 2 x- 1 2 y= 1 2 x2- 5 2 x+2

得：p₁（5，2），AP₁=2

5

，
∵

AC

AP1

=

5

2 5

=

1

2

=

OA

OC

，
∴△P₁AC∽△COA．
由

y= 1 2 x+2 y= 1 2 x2- 5 2 x+2

得：P₂（6，5），CP₂=3

5

，
∵

AC

CP2

=

5

3 5

=

1

3

≠

1

2

，
∴△P₂AC与△AOC不相似．
因此，存在点P（5，2）．

点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）根据二次函数的性质，利用勾股定理求出m的值．（2）用面积法求出角的正弦值．（3）根据相似三角形的性质求出点P的坐标．