Question

（2013•东城区一模）如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点．
（1）求证：∠CED=∠DAG；
（2）若BE=1，AG=4，求sin∠AEB的值．

Answer 1

分析：（1）根据矩形的对边平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CED=∠ADE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AG=DG，然后根据等边对等角求出∠DAG=∠ADE，从而得证；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠AGE=∠ADG+∠DAG=2∠DAG，然后求出∠AED=∠AGE，根据等角对等边可得AE=AG，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．

解答：（1）证明：∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠CED=∠ADE，
又∵点G是DF的中点，
∴AG=DG，
∴∠DAG=∠ADE，
∴∠CED=∠DAG；

（2）在△ADG中，∠AGE=∠ADG+∠DAG=2∠DAG，
又∵∠AED=2∠CED，
∴∠AED=∠AGE，
∴AE=AG，
∵AG=4，
∴AE=4，
在Rt△AEB中，由勾股定理可求AB=

AE2-BE2

=

42-12

=

15

，
∴sin∠AEB=

AB

AE

=

15

4

．

点评：本题考查了矩形的性质，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等角对等边的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及锐角三角函数的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．