Question

如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，BA=2．以OB为边，向外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．

Answer 1

考点：平行四边形的判定,等边三角形的性质,勾股定理,翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）根据D为OB的中点，得DO=DA，可得出∠AEO=60°，再根据△OBC为等边三角形，得∠BCO=∠AEO=60°，从而得出BC∥AE，由∠BAO=∠COA=90°，得OC∥AB，可证明四边形ABCE是平行四边形；
（2）由∠OAB=90°，∠AOB=30°，AB=2，根据三角函数可求得OA，在Rt△OAG中，根据勾股定理得出OA²+OG²=AG²，设OG=x，由折叠可知：AG=GC=4-x，可得x2+(2

3

)2=(4-x)2，解得x即可得出OG的长．

解答：（1）证明：在Rt△OAB中，D为OB的中点，
∴DO=DA，
∴∠DAO=∠DOA=30°，∠EOA=90°，
∴∠AEO=60°
又∵△OBC为等边三角形
∴∠BCO=∠AEO=60°，
∴BC∥AE，
∵∠BAO=∠COA=90°，
∴OC∥AB，
∴四边形ABCE是平行四边形．
（2）解：在Rt△ABO中，
∵∠OAB=90°，∠AOB=30°，AB=2，
∴OA=AB•tan60°=2×

3

=2

3

．
在Rt△OAG中，OA²+OG²=AG²，设OG=x，
由折叠可知：AG=GC=4-x，可得x2+(2

3

)2=(4-x)2，
解得x=

1

2

，
∴OG=

1

2

．

点评：本题考查了平行四边形的判定和等边三角形的性质以及勾股定理、折叠问题，是中学阶段的重点内容．