Question

已知：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点P从点B出发沿BA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，点Q从点A出发沿折线AC--CB--BA以每秒2个单位长的速度匀速运动，伴随着P、Q的运动，PE保持平行AC，且交BC于点E．点P、Q同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点都停止运动，连接EQ．若设运动的时间为t（t＞0），请解答下列问题：
（1）当t=1时，PE=______，QC=______；
（2）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
（3）设△AQP的面积为y，求y与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（4）是否存在某一时刻t，使△PQE为等腰三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵△ABC是Rt△，且AC=4，BC=3，由勾股定理得
AB==5
当t=1时，PB=1，AQ=2
∴QC=2
∵PE∥AC
∴△BPE∽△BAC
∴
∴
∴PE=

（2）由题意得；
5-t+2t=t+3+4-2t
解得：t=1

（3）∵PE∥AC
∴△BPE∽△BAC
∴
∴
∴BE=
∴EC=3-
∴y=
y=（0≤t≤2）
∴当2＜t≤时
y=
y=

（4）由题意得：
t-（2t-7）=
解得：t=
分析：（1）利用三角形相似和线段差就可以求出PE、QC的长．
（2）运动t秒后利用此时分得的周长相等建立等量关系，求出其t值就可．
（3）△AQP的面积是AQ乘以CE的积的一半，把AQ、EC用含t的式子表示出来就可以了．
（4）△PQE为等腰三角形分为两种情况，当Q点在AC边时和Q点在AB边上时，利用相似的性质和勾股定理可以求出对应的t值．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理．