Question

3．如图，在平面直角坐标系中，直线l₁：y=kx+1交y轴于点A，交x轴于点B（3，0），直线l₂平行于y轴，交直线l₁于点D，交x轴于点E，E的坐标为（1，0），点P是直线l₂上一动点（异于点D），连接PA、PB，设P（1，n）．
（1）求直线l₁的解析式和点D的坐标；
（2）求△ABP的面积S的表达式（用含n的代数式表示）；
（3）当△ABP的面积为2时，则以点B为直角顶点作等腰直角△BPC，请直接写出点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）将B（3，0）代入y=kx+1得到y=-$\frac{1}{3}$x+1，把E的坐标为（1，0）代入y=-$\frac{1}{3}$x+1即可得到结论；
（2）如图1（a），过点A作AM⊥PD，垂足为M，则有AM=1求得PD=n-$\frac{2}{3}$，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）根据三角形的面积公式列方程求得n=2，于是得到点P（1，2推出∠EPB=∠EBP=45°，第1种情况，如图1（b），过点C作CN⊥直线x=1于点N根据全等三角形的性质得到PN=NC=EB=PE=2，于是得到C（3，4）；第2种情况，如图2，过点C作CF⊥x轴于点F根据全等三角形的性质得到BF=CF=PE=EB=2，于是得到C（5，2），第3种情况，如图3根据全等三角形的性质得到PC=CB=PE=EB=2，于是得到C（3，2）．

解答 解：（1）∵直线l₁：y=kx+1交y轴于点A，交x轴于点B（3，0），
∴将B（3，0）代入y=kx+1k=-$\frac{1}{3}$，
∴直线l₁：y=-$\frac{1}{3}$x+1，
∵E的坐标为（1，0），
∴将x=1代入y=-$\frac{1}{3}$x+1得y=$\frac{2}{3}$，
∴D（1，$\frac{2}{3}$）；

（2）如图1（a），过点A作AM⊥PD，垂足为M，则有AM=1，
∵P（1，n），D（1，$\frac{2}{3}$），
∴PD=n-$\frac{2}{3}$，S_△PAB=$\frac{1}{2}$PD•AM=$\frac{1}{2}$（n-$\frac{2}{3}$）×1=$\frac{1}{2}$n-$\frac{1}{3}$，由点B（3，0），可
知点B到直线x=1的距离为2，
即△BDP的边PD上的高长为2，
∴S_△BPD=$\frac{1}{2}$PD×2=n-$\frac{2}{3}$，或S_△BPD=$\frac{1}{2}$PD×2=$\frac{2}{3}$-n，
∴S_△PAB=S_△APD+S_△BPD=$\frac{1}{2}$n-$\frac{1}{3}$+n-$\frac{2}{3}$=$\frac{3}{2}$n-1；或S_△PAB=S_△APD+S_△BPD=$\frac{1}{2}$n-$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$-n=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2}$n；

（3）当S_△ABP=2时，$\frac{3}{2}$n-1=2，解得n=2，
∴点P（1，2），
∵E（1，0），
∴PE=BE=2，
∴∠EPB=∠EBP=45°，
如图2，∠PBC=90°，BP=BC，
过点C作CF⊥x轴于点F，
∵∠PBC=90°，∠EBP=45°，
∴∠CBF=∠PBE=45°，
在△CBF与△PBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBF=∠PBE}\\{∠CFB=∠PEB=90°}\\{BC=BP}\end{array}\right.$，
∴△CBF≌△PBE
∴BF=CF=PE=EB=2，
∴OF=OB+BF=3+2=5，
∴C（5，2）；
如图3，△PBC是等腰直角三角形，
∴PE=CE，
∴C（1，-2），
∴以点B为直角顶点作等腰直角△BPC，点C的坐标是（1，-2）或（5，2）．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，正确的作出图形是解题的关键．