Question

两个正三角形内接于一个半径为R的⊙O，设它的公共面积为S，则2S与

3

r2的大小关系是

 

．

Answer 1

分析：根据正三角形和圆的关系可以得到整个图形关于OM，ON对称，确定△AMN的周长，求出△AMN的面积的最小值，用同样的方法求出△BPQ，△CRS的面积的最小值，然后用△ABC的面积减去这三个三角形的面积得到两个正三角形的公共部分的面积．

解答：解：如图：整个图形关于OM对称，关于ON也对称
∴AM=B₁M，AN=A₁N，
故AM+MN+NA=A1B1=

3

r，
∴△AMN的周长为定值

3

r，
故S△AMN≤

3

4

•(

3

3

r)2=

3

12

r2，
同理，S△BPQ≤

3

12

r2，S△CRS≤

3

12

r2，
故S△ABC-S△AMN-S△BPQ-S△CRS≥

3

4

•(

3

r)2-

3

12

r2•3，
∴S≥

3

2

r2?2S≥

3

r2．
故答案是：2S≥

3

r²．

点评：本题考查的是正多边形和圆，根据正三角形和圆的关系求出△AMN的周长，计算出它的面积的最小值，然后用同样的方法求出另两个三角形的面积，结合图形计算求出公共部分的面积．