Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，且DE⊥AC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C=30°，CD=20cm，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）连接AD、OD，由AB是直径，可知∠BDA=90°，而AB=AC，易得BD=CD，又OB=OA，可知OD是△ABC的中位线，那么
OD∥AC，结合DE⊥AC，利用平行线性质易得∠ODE=∠AED=90°，从而有DE是⊙O的切线；
（2）在Rt△ADC中，利用特殊三角函数值，可求AC，从而可求AB，进而可求⊙O半径．

解答：解：如右图所示，连接AD、OD．
（1）∵AB是直径，
∴∠BDA=90°，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
又∵OB=OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴∠ODE=∠AED=90°，
∴DE是⊙O的切线；

（2）在Rt△ADC中，
∵CD=20cm，∠C=30°，
∴AC=

CD

cos30°

=

40

3

3

，
∴AB=

40

3

3

，
∴⊙O的半径=

1

2

AB=

20 3

3

．

点评：本题考查了等腰三角形三线合一定理、中位线定理、切线的判定和性质、特殊三角函数值．解题的关键是连接AD、OD，构造直角三角形、平行线，并证明OD是△ABC的中位线．