如图①.点M为锐角三角形ABC内任意一点.连接AM.BM.CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE.将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN.连接EN．(1)求证:△AMB≌△ENB,(2)若AM+BM+CM的值最小.则称点M为△ABC的费尔马点．若点M为△ABC的费尔马点.试求此时∠AMB.∠BMC.∠CMA的度数,(3)小翔受以上启发.得到一个作锐角三角形费� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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15、如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费尔马点．若点M为△ABC的费尔马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；
（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图②，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费尔马点．试说明这种作法的依据．

分析：（1）结合等边三角形的性质，根据SAS可证△AMB≌△ENB；
（2）连接MN，由（1）的结论证明△BMN为等边三角形，所以BM=MN，即AM+BM+CM=EN+MN+CM，所以当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小，从而可求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；
（3）根据（2）中费尔马点的定义，又△ABC的费尔马点在线段EC上，同理也在线段BF上．因此线段EC与BF的交点即为△ABC的费尔马点．

解答：

解：（1）证明：∵△ABE为等边三角形，
∴AB=BE，∠ABE=60°．
而∠MBN=60°，
∴∠ABM=∠EBN．
又∵BM=BN，
∴△AMB≌△ENB．
（2）连接MN．由（1）知，AM=EN．
∵∠MBN=60°，BM=BN，
∴△BMN为等边三角形．
∴BM=MN．
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．
∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．
此时，∠BMC=180°-∠NMB=120°；
∠AMB=∠ENB=180°-∠BNM=120°；
∠AMC=360°-∠BMC-∠AMB=120°．
（3）由（2）知，△ABC的费尔马点在线段EC上，同理也在线段BF上．
因此线段EC与BF的交点即为△ABC的费尔马点．

点评：本题考查全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，是一道综合性的题目难度很大．

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科目：初中数学 来源： 题型：

如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）用签字笔画AD∥BC（D为格点），连接CD；
（2）线段CD的长为

；
（3）请你在△ACD的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角是

，则它所对应的正弦函数值是

；
（4）若E为BC中点，则tan∠CAE的值是

．

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科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

阅读下面的材料，并回答所提出的问题：如图所示，在锐角三角形ABC中，求证：

sinB

sinC

这个三角形不是一个直角三角形，不能直接使用锐角三角函数的知识去处理，所以必须构造直角三角形，

过点A作AD⊥BC，垂足为D，则在Rt△ABD和Rt△ACD中由正弦定义可完成证明．
解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ABD中，sinB=

，则AD=csinB
Rt△ACD中，sinC=

，则AD=bsinC
所以c sinB=b sinC，即

sinB

sinC

（1）在上述分析证明过程中，主要用到了下列三种数学思想方法的哪一种（　　）
A、数形结合的思想；B、转化的思想；C、分类的思想
（2）用上述思想方法解答下面问题．
在△ABC中，∠C=60°，AC=6，BC=8，求AB和△ABC的面积．
（3）用上述结论解答下面的问题（不必添加辅助线）
在锐角三角形ABC中，AC=10，AB=5

，∠C=60°，求∠B的度数．

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科目：初中数学 来源：福建省泉州市2012年中考数学试题 题型：044

已知：A、B、C不在同一直线上．

(1)若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，

A、B、C如图一，当∠A＝45°时，R＝1，求∠BOC的度数和BC的长度；

Ⅱ．如图二，当∠A为锐角时，求证sin∠A＝；