Question

如图1，已知AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，垂足为M，弦AE与CD交于F，则有结论AD²=AE·AF成立（不要求证明）。

（1）若将弦CD向下平移至与⊙O相切于B 点时，如图2，则AE·AF是否等于AG²？如果不相等，请探求AE·AF等于哪两条线段的积？并给出说明；
（2）当CD继续向下平移至与⊙O相离时，如图3，在（1）中探求的结论是否还成立？并说明理由。

Answer 1

解：（1）AE·AF不等于AG2，应该有结论AE·AF=AG·AH， 证明：如图①，连接BG，EG， ∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线， ∴∠ABF=∠AGB=90°， ∴∠BAF+∠BFA=90°， ∴∠AGE+∠BGE=90°， ∴∠BAF+∠BFA=∠AGF+∠BGE， 而∠BAF=∠BGE， ∴∠BFA=∠AGE， 又∠FAH=∠GAE， ∴△FAH∽△GAE， ∴ ∴所以AE·AF=AG·AH；
（2）（1）中探求的结论还成立， 证明：如图②连接EG，BG， ∵AB是⊙O的直径，AM⊥CD，∠AMF=∠AGB=90°， ∴∠AFM+∠FAM=∠ACE+∠BGE=90°， 而∠FAM=∠BGE， ∴∠AFM=∠AGE， 又∠FAH=∠GAE， ∴△FAH∽△GAE， ∴ ∴ AE·AF=AG·AH。