Question

已知a、b、c是△ABC的三边，当m＞0时，关于x的方程c（x²+m）+b（x²-m）-2a

m

x=0有两个相等的实数根，则△ABC的形状是

 

三角形．

Answer 1

分析：先把原方程化为关于x的一元二次方程的一般形式，然后利用根的判别式△=b²-4ac=0求得a²+b²=c²；最后由直角三角形的勾股定理的逆定理填空．

解答：解：由原方程，得
（c+b）x²-2a

m

x+（c-b）m=0；
∵关于x的方程c（x²+m）+b（x²-m）-2a

m

x=0有两个相等的实数根，
∴△=4a²m-4（c+b）（c-b）m=0，即m（a²-c²+b²）=0，
又∵m＞0，
∴a²-c²+b²=0，即a²+b²=c²；
而a、b、c是△ABC的三边，
∴△ABC的形状是直角三角形．
故答案是：直角．

点评：本题考查了根的判别式、勾股定理的逆定理．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．