Question

如图，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，且BE=BC，连接CE，将△CDE绕点C逆时针旋转90°，得到△CBF．连接EF，交BC于点G，H为EF的中点，连接CH，则下列说法：①△CDE≌△EBG；②BC平分∠HCF；③S_△BGF=S_△CGF；④FG=GH；⑤在不添加其他线段的条件下，图中有8个等腰三角形，其中正确的说法是（　　）

A．①②③

B．①④⑤

C．①②⑤

D．①②③⑤

Answer 1

分析：根据旋转的性质可得∠BCF=∠DCE，△CEF是等腰直角三角形，然后求出∠EBG=∠CDE=45°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠BCE=∠BEC=67.5°，然后求出∠BEG=∠DCE=22.5°，利用“角边角”证明△CDE和△EBG全等，判定①正确；再求出∠GCH=22.5°，从而得到∠GCH=∠BCF，判定②正确；连接BH，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BH=

1

2

EF，再根据等腰直角三角形的性质，CH=

1

2

EF，CH是△CGF的边GF的高，BH不是△BGF的边GF的高，所以，两个三角形的面积不相等，判定③错误；△CFH中CH≠CF，所以角平分线CG不平分FH，判定④错误；根据正方形的性质找出等腰直角三角形，根据角度找出等腰三角形，判定⑤正确．

解答：解：∵△CBF是△CDE绕点C逆时针旋转90°得到，
∴∠BCF=∠DCE，△CEF是等腰直角三角形，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠EBG=∠CDE=45°，
∵BE=BC，
∴∠BCE=∠BEC=

1

2

（180°-45°）=67.5°，
BE=CD，
∵H为EF的中点，
∴CH=

1

2

EF，∠CEF=∠ECH=45°，
∴∠BEG=∠BEC-∠CEF=67.5°-45°=22.5°，
∠DCE=∠BCE-∠ECH=67.5°-45°=22.5°，
∴∠BEG=∠DCE=22.5°，
在△CDE和△EBG中，
∵

∠EBG=∠CDE BE=CD ∠BEG=∠DCE

，
∴△CDE≌△EBG（ASA），故①正确；
∵∠GCH=∠BCE-∠ECH=67.5°-45°=22.5°，
∴∠GCH=∠BCF，
即BC平分∠HCF，故②正确；
连接BH，
∵∠EBF=∠EBG+∠CBF=45°+45°=90°，点H是EF的中点，
∴BH=

1

2

EF，
∴BH=CH，
∵CH是△CGF的边GF的高，BH不是△BGF的边GF的高，
∴S_△BGF≠S_△CGF，故③错误；
∵△CFH是等腰直角三角形，
∴CH≠CF，
∴∠HCF的角平分线CG不平分FH，
∴FG≠GH，故④错误；
等腰直角三角形有：△ABD，△BCD，△CEF，△CEH，△CFH，
∠BCE=∠BEC=67.5°，△BCE是等腰三角形，
∠CGE=180°-∠ECG-∠CEG=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴△CEG是等腰三角形，
∠BFG=90°-∠BEG=90°-22.5°=67.5°，
∠BGF=∠EBG+∠BEG=45°+22.5°=67.5°，
所以，∠BFG=∠BGF，
所以，△BFG是等腰三角形，
所以，共有8个等腰三角形，故⑤正确，
综上所述，说法正确的有①②⑤．
故选C．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，旋转的性质，等腰三角形的判定，是综合题，但难度不大，仔细分析便不难求解．