Question

如图，E是正方形ABCD中CD边上的一点，AB=，把△ADE 绕点A旋转后得△ABF，∠EAF的平分线交BC于点G，连接GE．
（1）求证：EG=FG；
（2）若∠DAE=15°，求GE的长；
（3）当点E位于何处时，△ADE与△CGE相似？并说明理由．

Answer 1

（1）证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠ABC=∠D=∠C=90°，AB=BC=AD=CD=，
∵△ADE 绕点A旋转后得△ABF，
∴△ADE≌△ABF，
∴AE=AF，∠DAE=∠FAB，
∵∠BAD=∠DAE+∠EAB=90°，
∴∠EAF=∠FAB+∠EAB=90°，
∵∠ABF=∠D=90°∠BAF=∠DAE，
∴∠FBG=∠ABF+∠ABC=180°，即点F、B、G在同一直线上，
∵AG平分∠EAF，
∴∠EAG=∠FAG，
在△AEG和△AFG中
∵，
∴△AEG≌△AFG（SAS），
∴EG=FG．

（2）解：∵∠FAG=∠EAG=∠EAF=45°，∠BAF=∠DAE=15°，
∴∠BAG=∠FAG-∠BAF=30°，
∴BG=ABtan∠BAG=×=1，
∴CG=BC-BG=-1，
∵△AEG≌△AFG，
∴∠AGE=∠AGB=90°-∠BAG=60°，
∴∠EGC=180°-∠AGE-∠AGB=60°，
∵∠C=90°，
∴∠CEG=30°，
∴EG=2CG=2（-1）=2-2．

（3）解：当DE=1时，△ADE与△CGE相似，
理由是：∵∠D=∠C=90°，
∴当∠AED=∠GEC或∠AED=∠EGC时，△ADE与△CGE相似
∵△ADE≌△ABF，△AEG≌△AFG，
∴∠AED=∠AFG=∠AEG，
当∠AED=∠EGC时，∠EGC=∠AEG，则AE∥GC，此时D与E重合，△ADE不存在；
当∠AED=∠GEC时，∠AED=∠GEC=∠AEG=60°，
∵∠D=90°，
∴∠ADE=30°，
∵AD=，
∴由勾股定理得：DE=1，
∴CE=-1，
∴当DE=1时，△ADE与△CGE相似．
分析：（1）根据SAS证△ADE≌△ABF，推出AE=AF，∠DAE=∠BAF，∠F=∠DEA，根据SAS证△EAG≌△FAG，根据全等三角形的性质推出即可；
（2）求出∠FAG=45°，∠FAB=15°，求出∠BAG=30°，求出BG，求出CG长，求出∠EGC=60°，求出∠GEC的度数，即可求出EG；
（3）分为两种情况：当∠AED=∠GEC或∠AED=∠EGC，根据相似得出比例式，求出当∠AED=∠EGC时，E和D重合（不存在三角形ADE，舍去），根据相似得出∠AED=∠AEG=∠GEC=60°，在Rt△ADE中求出DE即可．
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，正方形的性质，含30度角的直角三角形等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．