Question

（2013•莒南县二模）已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．
其中正确的结论有（　　）

A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

Answer 1

分析：观察图象：开口向下得到a＜0；对称轴在y轴的右侧得到a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，所以abc＜0；当x=-1时图象在x轴下方得到y=a-b+c＜0，即a+c＜b；对称轴为直线x=1，可得x=2时图象在x轴上方，则y=4a+2b+c＞0；利用对称轴x=-

b

2a

=1得到a=-

1

2

b，而a-b+c＜0，则-

1

2

b-b+c＜0，所以2c＜3b；开口向下，当x=1，y有最大值a+b+c，得到a+b+c＞am²+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1）．

解答：解：开口向下，a＜0；对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方，c＞0，则abc＜0，所以①不正确；
当x=-1时图象在x轴下方，则y=a-b+c＜0，即a+c＜b，所以②不正确；
对称轴为直线x=1，则x=2时图象在x轴上方，则y=4a+2b+c＞0，所以③正确；
x=-

b

2a

=1，则a=-

1

2

b，而a-b+c＜0，则-

1

2

b-b+c＜0，2c＜3b，所以④正确；
开口向下，当x=1，y有最大值a+b+c；当x=m（m≠1）时，y=am²+bm+c，则a+b+c＞am²+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1），所以⑤正确．
故选B．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象，当a＞0，开口向上，函数有最小值，a＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=-

b

2a

，a与b同号，对称轴在y轴的左侧，a与b异号，对称轴在y轴的右侧；当c＞0，抛物线与y轴的交点在x轴的上方；当△=b²-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点．