Question

如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G．
（1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：AG²=AF•AB；
（3）若⊙O的直径为10，AC=2

5

，AB=4

5

，求△AFG的面积．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：几何综合题

分析：（1）首先连接CD，由AD为⊙O的直径，可得∠ACD=90°，然后由圆周角定理，证得∠B=∠D，由已知∠PAC=∠B，可证得DA⊥PA，继而可证得PA与⊙O相切．
（2）首先连接BG，易证得△AFG∽△AGB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；
（3）首先连接BD，由AG²=AF•AB，可求得AF的长，易证得△AEF∽△ABD，即可求得AE的长，继而可求得EF与EG的长，则可求得答案．

解答：（1）PA与⊙O相切．理由：
连接CD，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠D+∠CAD=90°，
∵∠B=∠D，∠PAC=∠B，
∴∠PAC=∠D，
∴∠PAC+∠CAD=90°，
即DA⊥PA，
∵点A在圆上，
∴PA与⊙O相切．

（2）证明：如图2，连接BG，
∵AD为⊙O的直径，CG⊥AD，
∴

AC

=

AG

，
∴∠AGF=∠ABG，
∵∠GAF=∠BAG，
∴△AGF∽△ABG，
∴AG：AB=AF：AG，
∴AG²=AF•AB；

（3）解：如图3，连接BD，
∵AD是直径，
∴∠ABD=90°，
∵AG²=AF•AB，AG=AC=2

5

，AB=4

5

，
∴AF=

AG2

AB

=

5

，
∵CG⊥AD，
∴∠AEF=∠ABD=90°，
∵∠EAF=∠BAD，
∴△AEF∽△ABD，
∴

AE

AB

=

AF

AD

，
即

AE

4 5

=

5

10

，
解得：AE=2，
∴EF=

AF2-AE2

=1，
∵EG=

AG2-AE2

=4，
∴FG=EG-EF=4-1=3，
∴S_△AFG=

1

2

FG•AE=

1

2

×3×2=3．

点评：此题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、垂径定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．