Question

如图，PA、PB是⊙0的切线，切点分别为A、B，BC是⊙0的直径，PO交⊙0于E、G两点，CE交PB于F，连AB，下列结论：①AE=CG ②AC∥PG ③PF=EF ④E为△ABP的内心，其中正确的是（　　）

A．①②③

B．①③④

C．①②④

D．②④

Answer 1

分析：先判断出AB⊥AC且AB⊥PG，继而可得出AC∥PG，判断出②正确；根据AH=HC，可判断出EN=MG，从而可求出AE=CG，判断出①正确；利用切线的性质判断出∠PAE=∠EAB，从而得出点E是△PAB的角平分线的交点，判断出④正确；

解答：
解：连接AE、CG、OA、OC，作OH⊥AC，CM⊥PG，
∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，即AB⊥AC，
∵PA、PB是⊙0的切线，
∴PG⊥AB，
故可得AC∥PG，即可得②正确；
∵OA=OC，
∴点H是线段AC的中点，
由题意得，AN=CM，EN=OE-ON，MG=OG-OM，
∴EN=MG，
∴AE=

AN2+EN2

，CG=

CM2+MG2

，AE=CG，
即①正确；
由题意得，∠FPE=∠ABC，∠FEP=∠CEO=∠ECO，
而

EB

≠

AC

，故不能得出∠FPE=∠FEP，
也即得出PF≠EF，即③错误；
∵PA、PB是⊙0的切线，
∴∠PAE=∠AEB，
又∵

AE

=

EB

，
∴∠EAB=∠ABE，
∴∠PAE=∠EAB，即可得点E是△PAB角平分线的交点，点E为△ABP的内心，
故可得④正确．
综上可得①②④正确．
故选C．

点评：此题属于圆的综合题，涉及了圆周角定理、切线的性质及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握切线的几个性质及圆周角定理，难度较大，注意各个知识点之间的融会贯通．