Question

如图，⊙O是O为圆心，半径为的圆，直线y=kx+b交坐标轴于A、B两点．
（1）若OA=OB
①求k；
②若b=4，点P为直线AB上一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为C、D，若∠CPD=90°，求点P的坐标；
（2）若，且直线y=kx+b分⊙O的圆周为1：2两部分，求b．

Answer 1

解：（1）①由OA=OB，设A点坐标（a，0），则点B的坐标（0，a），
把这两点代入直线的解析式y=kx+b得：，
解得：k=-1．
②由题意得，Rt△POC≌Rt△POD，
∴∠CPO=∠DPO=∠CPD=45°，OP=OC=R=，
又∵直线的函数解析式y=-x+4，
故设P点坐标（x，-x+4）
OP==，解得：x=1或3
∴P（1，3）或（3，1）
（2）由题意得，当直线被切割的弦所对的圆周角为120°时，
弦长为2Rsin60°=R时，弦分圆周为1：2，符合题意，
联立直线和圆的方程得，

将①代入②消去y得x²+（-+b）²=5，即x²-bx+b²-5=0
利用根与系数的关系可得（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=b²-b²+16=-b²+16，
将①代入②消去x得 （2b-2y）²+y²=5，即5y²-8by+4b²-5=0
利用根与系数的关系可得（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=b²-b²+16=-b²+16，
将解得的两交点坐标用两点间距离公式得=
解得：b=±．
分析：（1）①由OA=OB，设出A、B两点坐标代入直线y=kx+b即可求得k；
②由题意得，Rt△POC≌Rt△POD∠CPO=∠DPO=∠CPD=45°算出OP的长，则P点坐标即可确定；
（2）根据题意，当直线被⊙O切割的弦长对应的劣弧的圆心角为120°时，求出b即可．
点评：本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．