如图,抛物线交轴于两点(的左侧),交轴于点,顶点为。
(1)求点的坐标;
(2)求四边形的面积;
(3)抛物线上是否存在点,使得,若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由。
(1) A(-1,0);B(3,0);C(0,3);(2)9;(3)存在这样的点P,P点的坐标为(,)或(,).
解析试题分析:(1)在抛物线的解析式中,令x=0可以求出点C的坐标,令x=0可以求出A、B点的坐标.
(2)过D作DE⊥AB,垂足为E,则四边形ABDC的面积就是:
(3)根据条件判定△BCD是直角三角形,再依据求出.设P点坐标为(m,-m2+2m+3),分两种情况讨论:(1)当P点在x 轴上方时,(2)当P点在x轴下方时,解直角三角形即可求出m的值,从而确定点P的坐标.
试题解析:(1)当x=0时,y=-x2+2x+3=3;
当y=0时,0=-x2
解得:x1=-1、x2=3;
故A(-1,0);B(3,0);C(0,3).
(2)
∴D点坐标为(1,4)
过点D作DE⊥x轴于E
∴OE=1,DE=4
∴BE=OB-OE=2
∵,,
∴
(3)假设存在这样的点P
过点C作CF⊥DE于F
∴CF=1,DF=1
∴∠DCF=45°,CD=
∵OC=3=OB,
∴∠CBO=45°,BC=
∵CF∥x轴
∴∠FCB=∠CBO=45°,
∴∠DCB=90°
在Rt△BCD中,
∴
设P点坐标为(m,-m2+2m+3),
过点P作PM⊥AB于M
当P点在x轴上方时,PM=-m2+2m+3,BM=3-m
在Rt△PBM中,,即
∴或(舍去)
∴P点坐标为(,)
当P点在x轴下方时,PM=-m2-2m-3,BM=3-m
在Rt△PBM中,,即
∴或(舍去)
∴P点坐标为(,)
综上,存在这样的点P,P点的坐标为(,)或(,)
考点: 二次函数综合题.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
高科技发展公司投资500万元,成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品,并投入资金1500万元作为固定投资,已知生产每件产品的成本是40元.在销售过程中发现:当销售单价定为100元时,年销售量为20万件;销售单价每增加10元,年销售量将减少1万件,设销售单价为x(元),年销售量为y(万件),年获利(年获利=年销售额一生产成本—投资)为z(万元).
(1)试写出y与x之间的函数关系式(不写x的取值范围);
(2)试写出z与x之间的函数关系式(不写x的取值范围);
(3)公司计划,在第一年按年获利最大确定销售单价进行销售;到第二年年底获利不低于1130万元,请借助函数的大致图象说明:第二年的销售单价x(元)应确定在什么范围内?
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点(B在A的左侧),顶点为C, 点D(1,m)在此二次函数图象的对称轴上,过点D作y轴的垂线,交对称轴右侧的抛物线于E点.
(1)求此二次函数的解析式和点C的坐标;
(2)当点D的坐标为(1,1)时,连接BD、.求证:平分;
(3)点G在抛物线的对称轴上且位于第一象限,若以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似,求点E的横坐标.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,直线与x轴、y轴分别交于点A、C,经过A、C两点的抛物线与x轴的负半轴上另一交点为B,且tan∠CBO=3.
(1)求该抛物线的解析式及抛物线的顶点D的坐标;
(2)若点P是射线BD上一点,且以点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似,求点P的坐标.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图所示,直线l:y=3x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B.把△AOB沿y轴翻折,点A落到点C,抛物线过点B、C和D(3,0).
(1)求直线BD和抛物线的解析式.
(2)若BD与抛物线的对称轴交于点M,点N在坐标轴上,以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似,求所有满足条件的点N的坐标.
(3)在抛物线上是否存在点P,使S△PBD=6?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3,0),B(0,3),C(1,0).
(1)求此抛物线的解析式.
(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点,(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线,垂足为F,交直线AB于点E,作PD⊥AB于点D.
①动点P在什么位置时,△PDE的周长最大,求出此时P点的坐标;
②连接PA,以AP为边作图示一侧的正方形APMN,随着点P的运动,正方形的大小、位置也随之改变.
当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时,求出对应的P点的坐标.(结果保留根号)
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-4,0),B(1,0),C(-2,6).
(1)求经过点A,B,C三点的抛物线解析式.
(2)设直线BC交y轴于点E,连结AE,求证:AE=CE;
(3)设抛物线与y轴交于点D,连结AD交BC于点F,求证:以A,B,F为顶点的三角形与△ABC相似,并求:.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
永嘉县绿色和特色农产品在国际市场上颇具竞争力,其中香菇远销日本和韩国等地.上市时,外商李经理按市场价格10元/千克在我县收购了2000千克香菇存放入冷库中.据预测,香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元,但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元,而且香菇在冷库中最多保存110天,同时,平均每天有6千克的香菇损坏不能出售.
(1)若存放天后,将这批香菇一次性出售,设这批香菇的销售总金额为元,试写出与之间的函数关系式.
(2)李经理想获得利润22500元,需将这批香菇存放多少天后出售?(利润=销售总金额-收购成本-各种费用)
(3)李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润?最大利润是多少?
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,抛物线的顶点为Q,与轴交于A(-1,0)、B(5, 0)两点,与轴交于C点.
(1)直接写出抛物线的解析式及其顶点Q的坐标;
(2)在该抛物线的对称轴上求一点,使得△的周长最小.请在图中画出点的位置,并求点的坐标.
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