Question

如图，直线y=kx+b（b＞0）与抛物线相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，设△OCD的面积为S，且kS+32=0．
（1）求b的值；
（2）求证：点（y₁，y₂）在反比例函数的图象上；
（3）求证：x₁•OB+y₂•OA=0．

Answer 1

（1）解：∵直线y=kx+b（b＞0）与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，
∴令x=0，得y=b；令y=0，x=-，
∴△OCD的面积S=（-）•b=-．
∵kS+32=0，
∴k（-）+32=0，
解得b=±8，
∵b＞0，
∴b=8；

（2）证明：由（1）知，直线的解析式为y=kx+8，即x=，
将x=代入y=x²，得y=（）²，
整理，得y²-（16+8k²）y+64=0．
∵直线y=kx+8与抛物线相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
∴y₁，y₂是方程y²-（16+8k²）y+64=0的两个根，
∴y₁•y₂=64，
∴点（y₁，y₂）在反比例函数的图象上；

（3）证明：由勾股定理，得
OA²=+，OB²=+，AB²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，
由（2）得y₁•y₂=64，
同理，将y=kx+8代入y=x²，
得kx+8=x²，即x²-8kx-64=0，
∴x₁•x₂=-64，
∴AB²=+++-2x₁•x₂-2y₁•y₂=+++，
又∵OA²+OB²=+++，
∴OA²+OB²=AB²，
∴△OAB是直角三角形，∠AOB=90°．
如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F．
∵∠AOB=90°，
∴∠AOE=90°-∠BOF=∠OBF，
又∵∠AEO=∠OFB=90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴=，
∵OE=-x₁，BF=y₂，
∴=，
∴x₁•OB+y₂•OA=0．
分析：（1）先求出直线y=kx+b与x轴正半轴交点D的坐标及与y轴交点C的坐标，得到△OCD的面积S=-，再根据kS+32=0，及b＞0即可求出b的值；
（2）先由y=kx+8，得x=，再将x=代入y=x²，整理得y²-（16+8k²）y+64=0，然后由已知条件直线y=kx+8与抛物线相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，知y₁，y₂是方程y²-（16+8k²）y+64=0的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系得到y₁•y₂=64，即点（y₁，y₂）在反比例函数的图象上；
（3）先由勾股定理，得出OA²=+，OB²=+，AB²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，由（2）得y₁•y₂=64，又易得x₁•x₂=-64，则OA²+OB²=AB²，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB=90°．再过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，根据两角对应相等的两三角形相似证明△AEO∽△OFB，由相似三角形对应边成比例得到=，即可证明x₁•OB+y₂•OA=0．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数与二次函数的交点，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中．求出△OCD的面积S是解第（1）问的关键；根据函数与方程的关系，得到y₁，y₂是方程y²-（16+8k²）y+64=0的两个根，进而得出y₁•y₂=64是解第（2）问的关键；根据函数与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理及其逆定理得出∠AOB=90°，是解第（3）问的关键．