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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    九年级数学兴趣小组近期开展了对运动型问题的探究．小明同学提供了一个这样的背景：如图，在?ABCD中，AB=AC=10cm，sin∠ACB=，动点O从A出发以1cm/s的速度沿AC方向向点C匀速运动，同时线段EF从与线段CB重合的位置出发以1cm/s的速度沿BA方向向点C匀速运动．在运动过程中，EF交AC于点G，连接OE、OF．设运动时间为ts（0＜t＜10），请你解决以下问题：
    （1）当t为何值时，点O与点G重合？
    （2）当点O与点G不重合时，判断△OEF的形状，并说明理由．             
    （3）当0＜t＜5时，
        ①在上述运动过程中，五边形BCEOF的面积是否为定值？如果是，求出五边形BCEOF的面积；如果不是，请说明理由．
        ②△EOG的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

    【答案】分析：（1）根据平行线的性质及等腰三角形的性质，可得出CE=CG，用含t的式子表示出CG、AO，再由点O与点G重合时CG+AO=AC=10cm，可得出t的值；
    （2）由（1）可知CE=AO，判断四边形BCEF为平行四边形，然后证明△AFO≌△COE，继而可得出结论．
    （3）①S五边形BCEOF=S四边形BCOF+S△COE，由（2）知：△AFO≌△COE，S五边形BCEOF=S四边形BCOF+S△AFO=S△ABC，确定△ABC的面积即可；
    ②判断△ECG∽△FAG，由对应边成比例，可得EG=t，然后求出△EOG的边EG上的高，用含t的式子表示出△EOG的度数，利用配方法求最值即可．
    解答：解：（1）在平行四边形ABCD中，DC=AB，DA∥CB，
    ∵AB=AC，
    ∴AC=DC，
    ∴∠CDA=∠CAD，
    又∵EF∥CB，
    ∴DA∥EF，
    ∴∠CEG=∠CDA，∠CGE=∠CAD，
    ∴∠CEG=∠CGE，
    ∴CE=CG，
    ∴CE=CG=AO=t，
    ∴当点O与点G重合时，t+t=10，
    解得：t=5；

    （2）当点O与点G不重合时△OEF为等腰三角形，
    理由：由（1）知：CE=AO，平行四边形ABCD中，AB∥CD，
    ∴∠OAF=∠OCE，
    ∵EF∥CB，
    ∴四边形BCEF为平行四边形，
    ∴BF=EC=t，
    ∴AF=OC=10-t，
    ∴△AFO≌△COE，
    ∴FO=OE，
    ∴△OEF为等腰三角形；

    （3）①当0＜t＜5时，五边形BCEOF的面积为定值，
    S五边形BCEOF=S四边形BCOF+S△COE，
    由（2）知：△AFO≌△COE，
    ∴S五边形BCEOF=S四边形BCOF+S△AFO=S△ABC，
    过点A作AH⊥CB于点H，在Rt△AHC中，AH=AC•sin∠ACB=10×=8，
    则CH=6，在△ABC中，AB=AC，
    ∴BC=2CH=12，
    ∴S五边形BCEOF=S△ABC=×12×8=48（cm3），
    ②当0＜t＜5时，△EOG的面积存在最大值，
    ∵EC∥AF，
    ∴△ECG∽△FAG，
    ∴=，即=，
    ∴EG=t，
    分别过点G，O作GN⊥CB，OM⊥CB垂足分别为N，M，
    ∵CG=t，OC=10-t，
    在Rt△OGN中，GN=CG•sin∠ACB=t，
    在Rt△OCM中，OM=OC•sin∠ACB=（10-t），
    ∴△EOG的边EG上的高为（10-t）•t=（10-2t），
    ∴S△EOG=×t×（10-2t）=-（t-）2+6，
    ∴△EOG的面积的最大值为6cm2．
    点评：本题考查了相似性综合题，涉及了平行四边形的性质，不规则面积的转化及配方法求二次函数的最值，综合性较强，对于此类题目，往往解法不是一目了然，需要同学们耐心思考，注意解题的过程，前面已经证明的结论在后面的解答中可以直接使用．
    练习册系列答案
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    ÷
    1
    a
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    		2
    ≈1.414，
    		3
    ≈l.732）
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    ，动点O从A出发以1cm/s的速度沿AC方向向点C匀速运动，同时线段EF从与线段CB重合的位置出发以1cm/s的速度沿BA方向向点C匀速运动．在运动过程中，EF交AC于点G，连接OE、OF．设运动时间为ts（0＜t＜10），请你解决以下问题：
    （1）当t为何值时，点O与点G重合？
    （2）当点O与点G不重合时，判断△OEF的形状，并说明理由．             
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        ①在上述运动过程中，五边形BCEOF的面积是否为定值？如果是，求出五边形BCEOF的面积；如果不是，请说明理由．
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    		3
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