Question

如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=-x²+bx+c经过B，C两点，点A是抛物线与x轴的另一个交点．
（1）求B、C两点坐标；
（2）求此抛物线的函数解析式；
（3）在抛物线上是否存在点P，使S_△PAB=S_△CAB，若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵直线y=-x+3经过B、C
∴当x=0时y=3
当y=0时x=3
∴B（3，0）C（0，3）

（2）∵抛物线y=-x²+bx+c经过B、C
∴．
∴b=2，c=3．
∴此抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．

（3）当y=0时，-x²+2x+3=0；x₁=-1，x₂=3．
∴A（-1，0）
设P（x，y）
∵S_△PAB=S_△CAB
∴×4×|y|=×4×3
∴y=3或y=-3
①当y=3时，3=-x²+2x+3
∴x₁=0，x₂=2
P（0，3）或（2，3）
②当y=-3时，-3=-x²+2x+3
∴x₁=1+，x₂=1-
∴P（1+，-3）或（1-，-3）．
因此存在这样的P点，其坐标为P（0，3），（2，3），（1+，-3），（1-，-3）．
分析：（1）已知了过B、C两点的直线的解析式，当x=0时可求出C点的坐标，当y=0是可求出B点的坐标．
（2）由于抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此将B、C两点的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式．
（3）根据（2）的抛物线的解析式可得出A点的坐标，由此可求出AB的长，由于S_△PAB=S_△CAB，而AB边为定值．由此可求出P点的纵坐标，然后将P点的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标．
点评：本题主要考查了一次函数与二次函数解析式的确定，图形的面积的求法等知识点，要注意的是（3）中点P的纵坐标要分正负两种情况进行求解，不要漏解．