Question

如图，直线与x轴、y轴相交于点B、C，点A的坐标为（-4，-3）．点P是射线AC上一个动点，点P从A点出发沿x轴的正方向以每秒1个单位的速度匀速移动，过点P作平行于BC的直线L与x轴、y轴相交于点M、N，设点P运动的时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，MN=BC；
（2）设△AMN的面积为S，求S与t的函数关系式．

Answer 1

解：（1）如图①，L₁、L₂位置时，MN=BC，此时t=6s或t=10s；

（2）当0＜t＜4时，
如图②：S_△MAP=•t•3=t；S_△NAP=•t•（4-t）=-t²+t；
∴S=S_△MAP+S_△NAP=；
当4≤t＜8时，
如图③：S=S_△MAP-S_△NAP=t-•t•（t-4）=-t²+3t；
当t＞8时，
如图④：S=S_△NAP-S_△MAP=•t•（t-4）=t²-3t．

分析：（1）根据BC所在直线的函数式我们不难得出，B的坐标应该是（-4，0），C的坐标应该是（0，-3）．要使MN是BC的一半，那么P所在的与BC平行的直线与x轴相交的点就应该是（-2，0）和（2，0），我们不难求出当P在点A时，M点的坐标应该是（-8，0）那么点（-8，0）到点（-2，0）和（2，0）的距离分别是6和10，因此经过6s或10s时，MN是BC的一半．
（2）可分三种情况进行讨论：1，当P在第三象限时，也就是M在B点左边时（图2），0≤t≤4．
三角形MAP中，底边AP可以根据路程=速度×时间用t表示出来，AP边上的高就是OC的长，那么三角形MAP的面积就能求出来了．三角形NAP中关键是求AP边上的高，∠CPN=∠OBC=∠BCA，因此tanCPN=tanOBC=，直角三角形CPN中，有AC=4，AP=t，那么可表示出CP，再根据∠CPN的正切值，那么CN的值就能表示出来了．这样三角形APN的面积也就能表示出来了．那么他们的面积和即三角形AMN的面积就能求出来了．也就得出了S与t的函数关系式．
（3）当P在第四象限时，且M位于线段OB上时（图3），即4≤t≤8时，三角形AMN的面积=三角形AMP的面积-三角形ANP的面积．
三角形AMP中，AP的长可以根据路程=速度×时间求出来，高为OC的长，因此三角形AMP的面积就能求出来了．三角形ANP中，关键是求高NC的长，也就是求ON的长，M与P的速度是一样的，因此OM的长可以用t表示出来（用M点没运动时OM的长-运动的距离），那么三角形OMN中，就可以用正切函数求出ON的长，也就求出了CN的长，有了CN，AP的长三角形ANP的面积就可以表示出来了，然后三角形AMP的面积-三角形ANP的面积就是三角形AMN的面积S，也就得出了此时S与t的关系式．
（4）当P在第四象限，且M在x正半轴上时（图4），t＞8，三角形AMN的面积=三角形APN的面积-APM的面积，三角形APN中，关键是求CN的长，方法与第二种情况类似，先表示出OM的长，然后根据正切函数求出ON的长，进而得出CN的长，其他步骤同第二种情况．
点评：本题考查了一次函数的性质及三角形面积的计算方法，本题中通过两条平行的直线函数来表示出线段的长是解题的关键．