Question

如图，⊙O与⊙O′外切于M，AB、CD分别同时与⊙O、⊙O′都相切的直线，A、B、C、D为切点，O′E⊥OA于E，且∠AOC=120°．若⊙O′的半径为1cm，图中阴影部分的面积是

 

．

Answer 1

考点：相切两圆的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：如图，首先求出O′E的长度；进而求出∠O′OE=60°，∠OO′B=120°；求出S_扇形OAM、S_扇形O′BM的值、S_{梯形ABO′O}的值，即可解决问题．

解答：解：如图，∵AB为⊙O与⊙O′的外公切线，
∴OA⊥AB，O′B⊥AB，而O′E⊥OA，
∴四边形ABO′E为矩形，
∴AE=O′B=1；
由勾股定理得：O′E=

42-22

=2

3

；
设⊙O′的半径为λ；
∵⊙O与⊙O′外切于M，
∴OO′=λ+1，OE=λ-1；由题意得：
∠O′OE=60°，∠OO′B=120°；
∴∠OO′E=30°，OO′=2OE，
∴λ+1=2（λ-1），
解得：λ=3；
∵S_扇形OAM+S_扇形O′BM
=

60π•32

360

+

120π•12

360

=

11π

6

，
S_{梯形ABO′O}=

1

2

(1+3)×2

3

=4

3

，
∴S_阴影=4

3

-

11π

6

（cm²）．

点评：该题考查了相切两圆的性质、勾股定理、扇形的面积公式等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用相切两圆的性质、勾股定理、扇形的面积公式等几何知识点．