Question

1．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD=10，sin∠BDC=$\frac{4}{5}$，∠ADB=90°，点E为边AB的中点，点F为线段CD上的一动点（点F不与C、D重合），联结FE，与BD相交于点G，点P为边AD上一点，且PE⊥EF．设BG=x，AP=y．
（1）求线段AB的长；
（2）当△DGF是以DG为腰的等腰三角形时，求BG的长；
（3）求y关于x的函数解析式及其定义域．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作CH⊥BD于H．首先根据三角函数求出CH，再利用勾股定理求出DH，在Rt△ADB中，设AD=4k，AB=5k，利用勾股定理求出k即可解决问题；
（2）分两种情形解决问题①当DG=DF时，②当GD=GF时，分别求解即可；
（3）如图3中，作PM⊥AE于M，GN⊥EB于N．只要证明△PEM∽△EGN，可得$\frac{PM}{EN}$=$\frac{EM}{GN}$，由此构建函数关系式即可；

解答 解：（1）如图1中，作CH⊥BD于H．

∵CD=CB，CH⊥BD，
∴DH=BH，
∵CD∥AB，
∴∠BDC=∠DBA，
∴sin∠BDC=sin∠ABD=$\frac{4}{5}$，
∵∠ADB=90°，
∴$\frac{DH}{DC}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴CH=8，
∴DH=BH=6，BD=12，设AD=4k，AB=5k，
∵AD²+BD²=AB²，
∴16k²+16²=25k²，
∴k=4，
∴AD=16，AB=20．

（2）如图2中，

①当DG=DF时，则∠DFG=∠DGF=∠BGE=∠BEG，
∴BE=BG，
∵AB=20，AE=BE，
∴BG=BE=10．
②当GD=GF时，作GM⊥AB于M．
∵∠GDF=∠GFD，CD∥AB，
∴∠GDF=∠GBE，∠GFD=∠GEB，
∴∠GBE=∠GEB，
∴GE=GB，∵GM⊥EB，
∴EM=BM=5，
∵cos∠ABD=$\frac{BM}{BG}$=$\frac{3}{5}$，
∴BG=$\frac{25}{3}$，
综上所述，满足条件的BG的值为10或$\frac{25}{3}$．

（3）如图3中，作PM⊥AE于M，GN⊥EB于N．

∵∠PEG=∠PME=∠GNE=90°，
∴∠PEM+∠GNE=90°，∠GEN+∠EGN=90°，
∴∠PEM=∠EGN，
∴△PEM∽△EGN，
∴$\frac{PM}{EN}$=$\frac{EM}{GN}$，
∵PA=y，BG=x，则易知GN=$\frac{4}{5}$x，BN=$\frac{3}{5}$x，AM=$\frac{4}{5}$y，PM=$\frac{3}{5}$y，
∴EM=10-$\frac{4}{5}$y，EN=10-$\frac{3}{5}x$，
∴$\frac{\frac{3}{5}y}{10-\frac{3}{5}x}$=$\frac{10-\frac{4}{5}y}{\frac{4}{5}x}$，
整理得y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{25}{2}$（6＜x＜12）．

点评 本题考查四边形综合题、锐角三角函数、勾股定理、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．