Question

如图1，在直角坐标系中，直线y=

4

3

x+4分别交两轴于A、B．
（1）A、B的坐标是A

 

、B

 

；
（2）如图2，点D从O点出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度匀速前进；同时，点E从A出发在直线AB上沿AB方向以每秒2个单位的速度匀速前进．
①从出发开始，几秒后DE⊥AB？
②从出发开始，几秒后△ADE是等腰三角形？

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：动点型

分析：（1）分别令y=0和x=0解方程求解；
（2）设x秒后符合题意．则OD=x，AE=2x．
①当DE⊥AB时，根据△ADE∽△ABO列方程求解；
②分三种情况讨论求解：AD=AE；AE=DE；AD=DE．

解答：解：（1）令y=0，得 x=-3．
∴A（-3，0）；
令x=0，得 y=4．
∴B（0，4）．
（2）在Rt△ABO中，AB=

32+42

=5．
设移动时间为x秒，则OD=x，AE=2x．

①如图1所示．当DE⊥AB时，有△ADE∽△ABO．
∴

AE

AO

=

AD

AB

，即

2x

3

=

x+3

5

，
解得 x=

9

7

．
答：从出发开始，

9

7

秒后DE⊥AB；
②如图2所示，分三种情况：
Ⅰ．若AD=AE，则 2x=3+x．解得 x=3；
Ⅱ．若AE=DE，作EF⊥AD于点F．
则AF=

3+x

2

；△AEF∽△ABO．
∴

AF

AO

=

AE

AB

，即

3+x 2

3

=

2x

5

．
解得 x=

15

7

；
Ⅲ．若AD=DE，作DC⊥AB于点C．
则AC=x；△ACD∽△AOB．
∴

AC

AO

=

AD

AB

，即

x

3

=

3+x

5

．
解得 x=

9

2

．
综上所述，从出发开始，3秒或

15

7

秒或

9

2

秒后△ADE是等腰三角形．

点评：此题考查了一次函数的综合应用，运用了分类讨论的数学思想和方法，结合相似三角形的判定和性质解答问题，综合性很强，难度较大．