Question

如图，已知BC为⊙O的直径，EC是⊙O的切线，C是切点，EP交⊙O于点A，D，交CB延长线于点P．连接CD，CA，AB．
（1）求证：∠ECD=∠EAC；
（2）若PB=OB=2，CD=3，求PA的长．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）如图1，连接OD．利用弦切角定理和圆周角定理可以证得结论；
（2）如图2，连接BD，过点D作DF⊥BC于点F．通过相似三角形△PAB∽△PCD的对应边成比例知

PA

PC

=

PB

PD

．把相关线段的长度代入可以得到：PA=2

2

．

解答：（1）证明：如图1，连接OD．
∵EC是⊙O的切线，CD是⊙O的弦，
∴∠ECD=

1

2

∠COD（弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半）．
又∵∠DAC=

1

2

∠COD（在同圆中，同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠ECD=∠DAC，即∠ECD=∠EAC；

（2）解：如图2，连接BD，过点D作DF⊥BC于点F．
∵BC是⊙O的直径，∴∠CDB=90°．
∴在Rt△CDB中，BD=

BC2-CD2

=

7

，DF=

CD•BD

BC

=

3 7

4

．
在Rt△CDF中，CF=

CD2-DF2

=

9

4

．
∴PF=PC-CF=

15

4

．
在Rt△DFP中，DP=

DF2+PF2

=3

2

．
∵∠PAB=∠PCD，∠P=∠P，
∴△PAB∽△PCD．
∴

PA

PC

=

PB

PD

．
∴

PA

6

=

2

3 2

．
∴PA=2

2

．

点评：本题考查了切线的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．解题过程中，利用了弦切角定理和圆内接四边形的性质．注意，圆的知识的综合运用．