Question

在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的边长是2，且OB边落在x轴的正半轴上，点A落在第一象限、将△OAB折叠，使点A落在x轴上，设点C是点A落在x轴上的对应点，
（1）当△OAB沿直线y=kx+b折叠时，如果点A恰好落在点C（0，0），求b的值；
（2）当△OAB沿直线y=kx+b折叠时，点C的横坐标为m，求b与m之间的函数关系式；并写出当b=时，点C的坐标；

（3）当△OAB沿直线y=kx+b折叠时，如果我们把折痕所在直线与△OAB的位置分为如图1、图2、图3三种情形，请你分别写出每种情形时b的取值范围（将答案直接填写在每种情形下的横线上）．

Answer 1

解：（1）根据等边三角形的三线合一的性质，则此时直线过点B．
设直线和y轴的交点是M．
在Rt△CBM中，∠CBM=30°，OB=2，
则OM=2，即b=2．

（2）易知：A（，3），已知C（m，0），则AC的中点为（，）；
依题意有：；
消去k，得：m²+6b-12=0，即b=2m²．
当b=时，2m²=，解得m=±3；
故：C₁（3，0），C₂（-3，0）．

（3）图①：0≤b≤2，图②：0≤b≤2，图③：-6≤b≤0；
理由：由（2）知：12-6b=m²，m²+6b-12=0；
若C点在x轴上，则方程m²+6b-12=0必有实数解，即：
△=-4（6b-12）≥0，解得b≤2；
图①中，显然b≥0，那么b的取值范围是：0≤b≤2；
图②中，显然b≥0，同图①可得：0≤b≤2；
图③中，显然b≤0，由于m的值最大可取4，那么：
12-6b²≤（4）²，即b≥-6，
因此-6≤b≤0．
分析：（1）根据等边三角形的性质，知如果点A恰好落在点C（0，0），则直线过点B．设直线和y轴的交点是M，则根据30°的直角三角形的性质即可求得b的值．
（2）此题稍微复杂，若A点关于直线y=kx+b的对称点C在x轴上，那么AC的中点在直线y=kx+b上，且直线AC的斜率为-（即AC与直线y=kx+b垂直），可根据这两个条件得到b、m的关系式，进而代值求出C点坐标．
（3）此题要结合（2）的结论来求解，从两方面考虑：
①由（2）可得到关于m的二次方程，若C点在x轴上，那么关于m的方程的根的判别式必大于等于0；
②根据图中直线的位置，大致判断出m的最大或最小值，然后再代入（2）的解析式中进行求解．
点评：此题是一次函数的综合题目，涉及到图形的翻折变换，以及函数与不等式的综合应用等知识，难度较大．