Question

如果正整数n有以下性质：n的八分之一是平方数，n的九分之一是立方数，它的二十五分之一是五次方数，那么n就称为“希望数”，则最小的希望数是

 

．

Answer 1

分析：先根据n的八分之一是平方数，n的九分之一是立方数，它的二十五分之一是五次方数可知，n能被质因数2、3、5整除，故可设n=2^a×3^b×5^c，求出a、b、c的值代入n的式子即可．

解答：解：设n=2^a×3^b×5^c
a能被3和5整除，被2除余1，最小为15；
b能被2和5整除，被3除余2，b最小为20；
c能被2和3整除，被5除余2，c最小为12；
所以n最小为2¹⁵×3²⁰×5¹²；

n

8

=（2⁶×3¹⁰×5⁶）²；

n

9

=（2⁵×3⁶×5⁴）³；

n

25

=（2³×3⁴×5²）⁵．

点评：本题考查的是数的整除性问题，解答此题的关键是根据题意设出n的表达式．