Question

如图，已知⊙O₁与⊙O₂外切于点C，AB为两圆外公切线，切点为A，B，若⊙O₁的半径为1，⊙O₂的半径为3，则图中阴影部分的面积是

1. A.
   4-π
2. B.
   4-π
3. C.
   8-π
4. D.
   8-π

Answer 1

B
分析：首先连接O₁A，O₂B，O₁O₂，过点O₁作O₁D⊥O₂B于点D，易求得O₁D的长，利用三角函数的知识求得∠O₂的度数，继而可求得梯形与扇形的面积，则可求得答案．
解答：解：连接O₁A，O₂B，O₁O₂，过点O₁作O₁D⊥O₂B于点D，
∵⊙O₁与⊙O₂外切于点C，AB为两圆外公切线，切点为A，B，⊙O₁的半径为1，⊙O₂的半径为3，
∴四边形AO₁DB是矩形，
∴O₁A=BD，
∴O₁A=1，O₂B=3，O₁O₂=1+3=4，
∴O₂D=3-1=2，
∴O₁D==2，
∴tan∠O₂==，
∴∠O₂=60°，
∴∠AO₁O₂=180°-∠O₂=120°，
∴S_梯形ABO2O1=（O₁A+O₂B）•O₁D=×（1+3）×2=4，S_扇形AO1C=×π×1²=π，S_扇形BO2C=×π×3²=π，
∴S_阴影=S_梯形ABO2O1-S_扇形AO1C-S_扇形BO2C=4-π．
故选B．
点评：此题考查了相切两圆的性质、梯形的性质、勾股定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．