Question

19．如图，直线y=-x+b与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图形交于A（a，4）和B（4，1）两点．
（1）求b，k的值；
（2）在第一象限内，当一次函数y=-x+b的值大于反比例函数y=$\frac{k}{x}$的值时，直接写出自变量x的取值范围；
（3）将直线y=-x+b向下平移m个单位，当直线与双曲线只有一个交点时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据直线y=-x+b与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图形交于A（a，4）和B（4，1）两点，即可得到b，k的值；
（2）运用数形结合思想，根据图象中，直线与双曲线的上下位置关系，即可得到自变量x的取值范围；
（3）将直线y=-x+5向下平移m个单位后解析式为y=-x+5-m，依据-x+5-m=$\frac{4}{x}$，可得△=（m-5）²-16，当直线与双曲线只有一个交点时，根据△=0，可得m的值．

解答 解：（1）∵直线y=-x+b过点 B（4，1），
∴1=-4+b，
解得b=5；
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象过点 B（4，1），
∴k=4；
（2）由图可得，在第一象限内，当一次函数y=-x+b的值大于反比例函数y=$\frac{k}{x}$的值时，1＜x＜4；
（3）将直线y=-x+5向下平移m个单位后解析式为y=-x+5-m，
∵直线y=-x+5-m与双曲线y=$\frac{4}{x}$只有一个交点，
令-x+5-m=$\frac{4}{x}$，整理得x²+（m-5）x+4=0，
∴△=（m-5）²-16=0，
解得m=9或1．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，一次函数图象与几何变换以及一元二次方程根与系数的关系的运用，解题时注意：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．