Question

如图，二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．且OA=2，OC=OB=3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）作OD⊥BC于D，与抛物线相交于点E，试在抛物线上确定点P，使得四边形OBEP为平行四边形，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了OA，OB，OC三条线段的长即可求出A，B，C三点的坐标，可用交点式二次函数通式设抛物线的解析式，然后将C点的坐标代入即可求出抛物线的解析式．
（2）由于OD⊥BC，因此∠DOB=45°，即E点在直线y=x上，由此可求出E点的坐标，如果四边形PEBO是平行四边形，那么EP=OB，将E点坐标向左平移3个单位后就应该是P点的坐标，然后将P的坐标代入抛物线的解析式中即可判断出是否存在这样的P点．

解答：解：（1）由题意可得A（-2，0），B（3，0），C（0，3）．
设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-3）．
将C点坐标代入后可得：
a（0+2）×（0-3）=3，a=-

1

2

．
因此抛物线的解析式为y=-

1

2

（x+2）（x-3）=-

1

2

x²+

1

2

x+3；

（2）如图；
存在这样的P点，且坐标为P（-1，2）
理由：∵OB=OC，∠COB=90°
∴∠CBO=∠OCB=45°
∵OD⊥BC
∴∠COD=∠BOD=45°
因此E为直线y=x与抛物线的交点，
因此有：

y=- 1 2 x2+ 1 2 x+3 y=x

解得：

x=2 y=2

，
即E点的坐标为（2，2）．
若四边形OBEP是平行四边形，那么EP=OB且EP∥OB，那么P点的坐标为（-1，2）．
当x=1时，抛物线的值为y=-

1

2

（x+2）（x-3）=-

1

2

×1×（-4）=2
因此P点在抛物线上．
所以存在这样的P点，且坐标为（-1，2）．

点评：本题考查了二次函数解析式的确定、平行四边形的判定、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．