Question

如图，直线y=-x+b与双曲线（x＞0）交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于E、F两点，连接OA、OB，若S_△AOB=S_△OBF+S_△OAE，则b=________．

Answer 1

分析：根据直线解析式求出点E、F的坐标，过点O作OM⊥AB于点M，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），联立两函数解析式求解可得y₁=x₂，y₂=x₁，从而判断出点A、B关于OM对称，并求出点A的坐标，然后代入双曲线解析式计算即可得解．
解答：解：令y=0，则-x+b=0，
解得x=b，
令x=0，则y=b，
所以，点E（b，0）、F（0，b），
所以，OE=OF，
过点O作OM⊥AB于点M，则ME=MF，
设点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
联立，
消掉y得，x²-bx+1=0，
根据根与系数的关系，x₁•x₂=1，
所以y₁•y₂=1，
所以y₁=x₂，y₂=x₁，
所以OA=OB，
所以AM=BM（等腰三角形三线合一），
∵S_△AOB=S_△OBF+S_△OAE，
∴FB=BM=AM=AE，
所以点A（b，b），
∵点A在双曲线y=上，
∴b×b=1，
解得b=．
故答案为：．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，联立两函数解析式求解得到OA=OB，然后根据三角形的面积求出点A、B、M是线段EF的四等分点，并求出点A的坐标是解题的关键．