Question

12．方程$\sqrt{{x}^{2}-x+2-2\sqrt{{x}^{2}-2x+1}}$=3的所有实数的和为$\frac{2+\sqrt{29}-\sqrt{37}}{2}$．

Answer 1

分析 由于$\sqrt{{x}^{2}-2x+1}$=|x-1|，所以分两种情况进行讨论：①当x≥1时，|x-1|=x-1，原方程化为$\sqrt{{x}^{2}-3x+4}$=3；②当x＜1时，|x-1|=1-x，原方程化为$\sqrt{{x}^{2}+x}$=3．分别把方程两边平方去根号后求解．

解答 解：∵$\sqrt{{x}^{2}-2x+1}$=|x-1|，
∴$\sqrt{{x}^{2}-x+2-2\sqrt{{x}^{2}-2x+1}}$=$\sqrt{{x}^{2}-x+2-2|x-1|}$．
分两种情况：①当x≥1时，|x-1|=x-1，
原方程可化为$\sqrt{{x}^{2}-3x+4}$=3，
两边平方得，x²-3x+4=9，
整理，得x²-3x-5=0，
∵△=9-4×1×（-5）=29，
∴x=$\frac{3±\sqrt{29}}{2}$，
x₁=$\frac{3+\sqrt{29}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{29}}{2}$（不合题意舍去），
经检验，知x=$\frac{3+\sqrt{29}}{2}$是原方程的解；
②当x＜1时，|x-1|=1-x，
原方程可化为$\sqrt{{x}^{2}+x}$=3，
两边平方得，x²+x=9，
整理，得x²+x-9=0，
∵△=1-4×1×（-9）=37，
∴x=$\frac{-1±\sqrt{37}}{2}$，
x₁=$\frac{-1-\sqrt{37}}{2}$，x₂=$\frac{-1+\sqrt{37}}{2}$（不合题意舍去），
经检验，知x=$\frac{-1-\sqrt{37}}{2}$是原方程的解．
∴方程$\sqrt{{x}^{2}-x+2-2\sqrt{{x}^{2}-2x+1}}$=3的所有实数的和为：$\frac{3+\sqrt{29}}{2}$+$\frac{-1-\sqrt{37}}{2}$=$\frac{2+\sqrt{29}-\sqrt{37}}{2}$．
故答案为$\frac{2+\sqrt{29}-\sqrt{37}}{2}$．

点评 本题考查了无理方程的解法．在解无理方程时最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．注意解无理方程一定要验根．进行分类讨论是解题的关键．