Question

15．如图，已知正方形ABCD的边长为2，以DC为底向正方形外作等腰△DEC，连接AE，以AE为腰作等腰△AEF，使得EA=EF，且∠DEC=∠AEF．
（1）求证：△EDC∽△EAF；
（2）求DE•BF的值；
（3）连接CF、AC，当CF⊥AC时，求∠DEC的度数．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质得出DE=CE，AE=FE，∠EDC=∠ECD=∠EAF=∠EFA，即可得出△EDC∽△EAF；
（2）由正方形的性质得出BC=DC=2，∠BCD=∠ADC=90°，∠ACB=∠ACD=45°，证出∠AED=∠FEC，由SAS证明△ADE≌△FCE，得出AD=FC，∠ADE=∠FCE=90°+∠EDC，证出BC=FC，∠BCF=∠DEC，得出△BCF∽△DEC，得出对应边成比例，即可得出答案；
（3）求出∠BCF=45°，由（2）得出∠DEC=∠BCF=45°即可．

解答 （1）证明：∵△DEC、△AEF是等腰三角形，且∠DEC=∠AEF，
∴DE=CE，AE=FE，∠EDC=∠ECD=∠EAF=∠EFA，
∴△EDC∽△EAF；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC=2，∠BCD=∠ADC=90°，∠ACB=∠ACD=45°，
∵∠DEC=∠AEF，
∴∠AED=∠FEC，
在△ADE和△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=CE}&{\;}\\{∠AED=∠FEC}&{\;}\\{AE=FE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FCE（SAS），
∴AD=FC，∠ADE=∠FCE=90°+∠EDC，
∴BC=FC，∠BCF=360°-∠BCE-∠FCE=360°-2（90°+∠ECD）=180°-2∠ECD=∠DEC，
又∵BC：DE=FC：CE，
∴△BCF∽△DEC，
∴$\frac{BC}{DE}=\frac{BF}{DC}$，
∴DE•BF=BC•DC=2×2=4；
（3）解：∵CF⊥AC，∠ACB=45°，
∴∠BCF=45°，
由（2）得：∠DEC=∠BCF=45°．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．