Question

11．在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如$\frac{5}{{\sqrt{3}}}$、$\frac{2}{{\sqrt{3}+1}}$这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：$\frac{5}{{\sqrt{3}}}=\frac{{5×\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}×\sqrt{3}}}=\frac{5}{3}\sqrt{3}$；$\frac{2}{{\sqrt{3}+1}}=\frac{{2×（\sqrt{3}-1）}}{{（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3}-1）}}=\frac{{2（\sqrt{3}-1）}}{{{{（\sqrt{3}）}^2}-1}}=\sqrt{3}-1$．
以上这种化简过程叫做分母有理化.$\frac{2}{{\sqrt{3}+1}}$还可以用以下方法化简：$\frac{2}{{\sqrt{3}+1}}=\frac{3-1}{{\sqrt{3}+1}}=\frac{{{{（\sqrt{3}）}^2}-{1^2}}}{{\sqrt{3}+1}}=\frac{{（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3}-1）}}{{\sqrt{3}+1}}=\sqrt{3}-1$
试用上述方法化简下列各式：
（1）$\frac{1}{{\sqrt{7}+\sqrt{6}}}$；
（2）$\frac{2}{{\sqrt{3}+1}}+\frac{2}{{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}+\frac{2}{{\sqrt{7}+\sqrt{5}}}+…+\frac{2}{{\sqrt{99}+\sqrt{97}}}$．

Answer 1

分析 （1）把分子分母都乘以$\sqrt{7}$-$\sqrt{6}$，然后利用平方差公式计算即可；
（2）先把每个二次根式进行分母有理化，然后合并即可．

解答 解：（1）原式=$\frac{{1×（\sqrt{7}-\sqrt{6}）}}{{（\sqrt{7}+\sqrt{6}）（\sqrt{7}-\sqrt{6}）}}$
=$\frac{{\sqrt{7}-\sqrt{6}}}{{{{（\sqrt{7}）}^2}-{{（\sqrt{6}）}^2}}}$
=$\sqrt{7}-\sqrt{6}$；
（2）原式=$（\sqrt{3}-1）+（\sqrt{5}-\sqrt{3}）+（\sqrt{7}-\sqrt{5}）$+…+$（\sqrt{99}-\sqrt{97}）$
=$\sqrt{99}-1$
=$3\sqrt{11}-1$．

点评 本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．