Question

如图，已知点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切与点D，与AB相交于点E。

（1）试判断AD是否平分∠BAC?并说明理由；

（2）若BD=3BE,CD=3,求?O的半径。

Answer 1

解：（1）判断：AD平分∠BAC,

证法一：连接OD.

∵BC切⊙O与D,∴OD⊥BC,又△ABC为Rt△，且∠C=90°.

∴AC⊥BC    ∴OD∥AC  ∴∠1=∠2   ∴∠1=∠3.

证法二，连接ED.

∴AE是⊙O直径，∴∠ADF=90°,∴∠3+∠AED=90°.又∠C=90°

∴∠1+∠ADC=90°.又∠AED=∠ADC   ∴∠1=∠3.

证法三，连接EF,DF.

∵AE是⊙0直径，∴∠AFE=90°,又ACE=90°,∴∠AFE=∠ACB,∴EF∥BC,

∴∠4=∠5.又∠3=∠4，∠1=∠5，∴∠1=∠3

（2）       解法：设BE-x,则BD=3BE=3x.据切割线定理得 BD²=BE?BA.得AB-9x，　OA=OE-4x.又OD∥AC,∴∴∴∴⊙O的半径为5.

解法二：如图2，过O作OG⊥AC,又AC⊥BC,OD⊥BC,则四边形ODCG为矩形。

∴OG=CD=3,OG∥BC,又OG∥BC，∴ ∴∴，x=0（舍去）∴⊙O的半径为5.

备注：本解法是在解法一得AB=9x，OA=OE=4x的基础上进行的。

解法三：如图（1）∠3=∠BDE,∠EBD=∠DBA,∴,又BD=3BE,∴.

又DC=3,则AC=9,在Rt△ADC中，AD=，在Rt△  AED中，AE=∴⊙O的半径的长为.